Упр.940 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Сравните:

1. $$\sqrt{10}+\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{11}+\sqrt{5}$$;
2. $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}$$;
3. $$\sqrt{15}-\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{2}$$;
4. $$\sqrt{21}+\sqrt{20}$$ и $$9$$.

1. Сравним $$\sqrt{10}+\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{11}+\sqrt{5}$$.

   Возведём обе суммы в квадрат:

   $$(\sqrt{10}+\sqrt{6})^2=10+6+2\sqrt{60}=16+2\sqrt{60},$$
   $$(\sqrt{11}+\sqrt{5})^2=11+5+2\sqrt{55}=16+2\sqrt{55}.$$

   Так как $$\sqrt{60}>\sqrt{55}$$, то

   $$16+2\sqrt{60}>16+2\sqrt{55}.$$

   Значит, $$\sqrt{10}+\sqrt{6}>\sqrt{11}+\sqrt{5}.$$

2. Сравним $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}$$.

   Возведём обе суммы в квадрат:

   $$(2+\sqrt{11})^2=4+4\sqrt{11}+11=15+4\sqrt{11},$$
   $$(\sqrt{5}+\sqrt{10})^2=5+10+2\sqrt{50}=15+2\sqrt{50}.$$

   Сравним полученные выражения:

   $$15+4\sqrt{11}<15+2\sqrt{50}$$ так как $$4\sqrt{11}<2\sqrt{50}\iff 2\sqrt{11}<\sqrt{50}\iff \sqrt{44}<\sqrt{50}.$$

   Следовательно,

   $$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}.$$

3. Сравним $$\sqrt{15}-\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{2}$$.

   Возведём в квадрат:

   $$(\sqrt{15}-\sqrt{5})^2=15-2\sqrt{75}+5=20-2\sqrt{75},$$
   $$(\sqrt{2})^2=2.$$

   Проверим неравенство:

   $$20-2\sqrt{75}>2 \iff 2\sqrt{75}<18 \iff \sqrt{75}<9.$$

   Это верно, значит

   $$\sqrt{15}-\sqrt{5}>\sqrt{2}.$$

4. Сравним $$\sqrt{21}+\sqrt{20}$$ и $$9$$.

   Возведём в квадрат:

   $$(\sqrt{21}+\sqrt{20})^2=21+20+2\sqrt{420}=41+2\sqrt{420},$$
   $$9^2=81.$$

   Проверим:

   $$41+2\sqrt{420}>81 \iff 2\sqrt{420}>40 \iff \sqrt{420}>20.$$

   Так как $$420>400$$, то $$\sqrt{420}>20$$. Значит,

   $$\sqrt{21}+\sqrt{20}>9.$$

Ответ

1) $$\sqrt{10}+\sqrt{6}>\sqrt{11}+\sqrt{5}$$;
2) $$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}$$;
3) $$\sqrt{15}-\sqrt{5}>\sqrt{2}$$;
4) $$\sqrt{21}+\sqrt{20}>9$$.