Упр.937 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Известно, что $$b>0$$ и $$a>b$$. Является ли верным при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$ неравенство:
1) $$a^2+a>b^2+b$$;
2) $$a^2-a>b^2-b$$;
3) $$2-a^2<2-b^2$$;
4) $$a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}{b}$$? - Задание учебника 2019 года.
Автобус должен был проехать $$255\ \text{км}$$. Проехав $$\frac{7}{17}$$ пути, он остановился на $$1\ \text{ч}$$, а затем продолжил движение со скоростью на $$5\ \text{км/ч}$$ меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через $$9\ \text{ч}$$ после выезда.
Так как $$b>0$$ и $$a>b$$, то $$0<b<a$$.
Проверим неравенство $$a^2+a>b^2+b$$:
$$a^2+a-b^2-b>0$$
$$$(a^2-b^2)+(a-b)>0$$
$$$(a-b)(a+b)+(a-b)>0$$
$$$(a-b)(a+b+1)>0$$Так как $$a-b>0$$ и $$a+b+1>0$$, неравенство верно при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$.
Проверим неравенство $$a^2-a>b^2-b$$:
$$a^2-a-b^2+b>0$$
$$$(a^2-b^2)-(a-b)>0$$
$$$(a-b)(a+b)-(a-b)>0$$
$$$(a-b)(a+b-1)>0$$Так как $$a-b>0$$, но $$a+b-1>0$$ не при всех значениях $$a$$ и $$b$$, неравенство не является верным при всех указанных значениях.
Проверим неравенство $$2-a^2<2-b^2$$:
$$2-a^2-2+b^2<0$$
$$b^2-a^2<0$$
$$a^2-b^2>0$$
$$$(a-b)(a+b)>0$$Так как $$a-b>0$$ и $$a+b>0$$, неравенство верно при всех указанных значениях $$a$$ и $$b$$.
Проверим неравенство $$a+\frac{1}{a}>b+\frac{1}{b}$$:
$$a+\frac{1}{a}-b-\frac{1}{b}>0$$
$$\left(a-b\right)+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)>0$$
$$\left(a-b\right)-\frac{a-b}{ab}>0$$
$$$(a-b)\left(1-\frac{1}{ab}\right)>0$$
$$$(a-b)(ab-1)>0$$Так как $$a-b>0$$, но $$ab-1>0$$ не при всех значениях $$a$$ и $$b$$, неравенство не является верным при всех указанных значениях.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) нет.
Пусть начальная скорость автобуса равна $$x$$ км/ч. Тогда после остановки его скорость стала $$x-5$$ км/ч.
До остановки автобус проехал $$255\cdot \frac{7}{17}=105$$ км, на это он затратил $$\frac{105}{x}$$ ч. После остановки он проехал $$255-105=150$$ км, на это затратил $$\frac{150}{x-5}$$ ч.
По условию, с учётом остановки на 1 ч, весь путь занял 9 ч, значит:
$$\frac{105}{x}+1+\frac{150}{x-5}=9$$
$$\frac{105}{x}+\frac{150}{x-5}=8$$
$$105(x-5)+150x=8x(x-5)$$
$$105x-525+150x=8x^2-40x$$
$$8x^2-295x+525=0$$
Найдём корни:
$$D=295^2-4\cdot 8\cdot 525=87025-16800=70225$$
$$\sqrt{D}=265$$
$$x=\frac{295\pm 265}{16}$$
$$x_1=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}$$
$$x_2=\frac{560}{16}=35$$
Значение $$x=\frac{15}{8}$$ не подходит, так как тогда $$x-5<0$$. Следовательно, начальная скорость автобуса равна $$35$$ км/ч.
Ответ: 35 км/ч.
