Упр.936 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0$$, то $$a<b$$.
2. При каком значении $$a$$ произведение корней уравнения $$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$$ равно $$15$$?

1) Если $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}>0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ положительны: $$a>0$$ и $$b>0$$.

Умножим обе части неравенства $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$ на положительное число $$ab$$:

$$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$
$$b>a$$

Следовательно, $$a<b$$. Что и требовалось доказать.

2) Пусть корни уравнения $$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1x_2=a^2+2a.$$

По условию произведение корней равно $$15$$, значит

$$a^2+2a=15$$
$$a^2+2a-15=0$$
$$(a+5)(a-3)=0.$$

Отсюда

$$a=-5 \text{ или } a=3.$$

Проверим, при каком значении $$a$$ уравнение имеет действительные корни.

Для $$a=-5$$:

$$D=(a+9)^2-4(a^2+2a)=4^2-4\cdot 15=16-60=-44<0,$$

значит, корней нет.

Для $$a=3$$:

$$D=(3+9)^2-4(3^2+2\cdot 3)=144-4\cdot 15=84>0,$$

уравнение имеет корни.

Ответ

$$a<b.$$
$$a=3.$$