Упр.935 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) если a < b < 0, то a^2 > b^2;
2) если a > 0, b > 0 и a^2 > b^2, то a > b. Известно, что x1 и x2 — корни уравнения x^2 — (2a — 5)x + а^2 — 7 = 0.
При каком значении а выполняется равенство 2×1 + 2×2 = x1x2?

1) Если $$a<b<0,$$ то $$a-b<0$$ и $$a+b<0.$$ Тогда произведение двух отрицательных чисел положительно:

$$ (a-b)(a+b)>0 $$

Но $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2,$$ значит

$$a^2-b^2>0,$$

то есть $$a^2>b^2.$$

2) Если $$a>0,$$ $$b>0$$ и $$a^2>b^2,$$ то

$$ a^2-b^2>0 $$

$$ (a-b)(a+b)>0. $$

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то $$a+b>0.$$ Следовательно, чтобы произведение $$ (a-b)(a+b) $$ было положительным, нужно, чтобы

$$a-b>0,$$

то есть

$$a>b.$$

Теперь найдём значение $$a.$$ По теореме Виета для уравнения

$$x^2-(2a-5)x+a^2-7=0$$

имеем:

$$x_1+x_2=2a-5,\qquad x_1x_2=a^2-7.$$

По условию

$$2x_1+2x_2=x_1x_2,$$

значит

$$2(x_1+x_2)=x_1x_2.$$

Подставим формулы Виета:

$$ 2(2a-5)=a^2-7 $$

$$ 4a-10=a^2-7 $$

$$ a^2-4a+3=0 $$

$$ (a-1)(a-3)=0 $$

$$a=1 \text{ или } a=3.$$

Проверим условие существования корней уравнения:

$$ D=(2a-5)^2-4(a^2-7)=53-20a. $$

Для $$a=1$$ получаем $$D=33>0,$$ для $$a=3$$ получаем $$D=-7<0.$$ Значит, подходит только $$a=1.$$

Ответ

$$a=1.$$