Упр.932 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. При каких значениях a уравнение (x2-2ax+3)/(x-2) = 0 имеет единственный корень?

Рассмотрим произвольный четырёхугольник $$ABCD$$ и его диагонали $$AC$$ и $$BD$$.

По неравенству треугольника:

$$AB+BC>AC,$$
$$BC+CD>BD,$$
$$CD+DA>AC,$$
$$DA+AB>BD.$$

Сложим эти неравенства:

$$ (AB+BC)+(BC+CD)+(CD+DA)+(DA+AB) > AC+BD+AC+BD $$

$$ 2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD) $$

$$ AB+BC+CD+DA > AC+BD. $$

Значит, периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

Теперь решим уравнение

$$ \frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0,\qquad x\ne 2. $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:

$$ x^2-2ax+3=0. $$

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю:

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 3=4a^2-12. $$

$$ 4a^2-12=0 $$

$$ a^2=3 $$

$$ a=\pm\sqrt{3}. $$

При этих значениях уравнение имеет один корень, и он не равен $$2$$.

Ответ

Периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей. Уравнение имеет единственный корень при $$a=\pm\sqrt{3}$$.