Упр.930 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Сравните значения выражений: 1) $$2^{24}$$ и $$9^8$$; 2) $$0{,}3^{20}$$ и $$0{,}1^{10}$$; 3) $$0{,}0015^{10}$$ и $$0{,}2^{40}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Решите уравнение: 1) $$\frac{x^2-7x}{x+1}=\frac{8}{x+1}$$; 2) $$\frac{3x^2+4x}{x^2-9}=\frac{3-4x}{x^2-9}$$; 3) $$\frac{4-x}{4x-3}=\frac{2x-2}{7-x}$$; 4) $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-6}=\frac{7}{12}$$.

1) $$2^{24}=(2^3)^8=8^8,\qquad 9^8=(3^2)^8=3^{16}.$$

Так как $$8^8<9^8,$$ то

$$2^{24}<9^8.$$

2) $$0{,}3^{20}=(0{,}3^2)^{10}=0{,}09^{10},\qquad 0{,}1^{10}=0{,}1^{10}.$$

Поскольку $$0{,}09<0{,}1,$$ то

$$0{,}3^{20}<0{,}1^{10}.$$

3) $$0{,}2^{40}=(0{,}2^4)^{10}=0{,}0016^{10}.$$

Так как $$0{,}0015<0{,}0016,$$ то

$$0{,}0015^{10}<0{,}2^{40}.$$

1) $$\frac{x^2-7x}{x+1}=\frac{8}{x+1},\qquad x\ne -1.$$

Умножим обе части на $$x+1$$:

$$x^2-7x=8$$

$$x^2-7x-8=0$$

$$\begin{cases} x_1+x_2=7,\\ x_1x_2=-8 \end{cases}$$

$$x_1=8,\qquad x_2=-1.$$

Значение $$x=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.

2) $$\frac{3x^2+4x}{x^2-9}=\frac{3-4x}{x^2-9},\qquad x\ne \pm 3.$$

Умножим обе части на $$x^2-9$$:

$$3x^2+4x=3-4x$$

$$3x^2+8x-3=0$$

$$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-3)=64+36=100$$

$$x=\frac{-8\pm 10}{6}$$

$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac13.$$

Значение $$x=-3$$ не подходит.

3) $$\frac{4-x}{4x-3}=\frac{2x-2}{7-x},\qquad x\ne \frac34,\ x\ne 7.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(4-x\right)\left(7-x\right)=\left(2x-2\right)\left(4x-3\right)$$

$$28-11x+x^2=8x^2-14x+6$$

$$7x^2-3x-22=0$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 7\cdot(-22)=9+616=625$$

$$x=\frac{3\pm 25}{14}$$

$$x_1=-\frac{11}{7},\qquad x_2=2.$$

4) $$\frac1{x+1}-\frac1{x-6}=\frac{7}{12},\qquad x\ne -1,\ x\ne 6.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-6)-(x+1)}{(x+1)(x-6)}=\frac{7}{12}$$

$$\frac{-7}{(x+1)(x-6)}=\frac{7}{12}$$

$$-84=7(x+1)(x-6)$$

$$-12=(x+1)(x-6)$$

$$x^2-5x+6=0$$

$$\begin{cases} x_1+x_2=5,\\ x_1x_2=6 \end{cases}$$

$$x_1=2,\qquad x_2=3.$$

Ответ

1) $$2^{24}<9^8$$; 2) $$0{,}3^{20}<0{,}1^{10}$$; 3) $$0{,}0015^{10}<0{,}2^{40}$$.

1) $$x=8$$; 2) $$x=\frac13$$; 3) $$x=-\frac{11}{7},\ 2$$; 4) $$x=2,\ 3$$.