Упр.93 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство:
   1) $$\ast\cdot(a-b)=(a+b)(a-b)^2$$;
   2) $$(a+10b)\cdot\ast=a^2-100ab^2$$.
2. Докажите, что выражение $$(a+4)(a-8)+4(2a+9)$$ при всех значениях $$a$$ принимает неотрицательные значения.

1. $$\ast \cdot (a-b)=(a+b)(a-b)^2$$

   Разделим обе части равенства на $$a-b$$:

   $$\ast=\frac{(a+b)(a-b)^2}{a-b}=(a+b)(a-b).$$

2. $$\left(a+10b\right)\cdot \ast = a^3-100ab^2$$

   Разложим правую часть на множители:

   $$a^3-100ab^2=a\left(a^2-100b^2\right)=a(a-10b)(a+10b).$$

   Тогда

   $$\ast=\frac{a(a-10b)(a+10b)}{a+10b}=a(a-10b).$$

3. Преобразуем выражение:

   $$(a+4)(a-8)+4(2a+9)=a^2-8a+4a-32+8a+36$$

   $$=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$

   Так как $$\left(a+2\right)^2\ge 0$$ при любых значениях $$a$$, то выражение неотрицательно.

Ответ

1) $$\ast=(a+b)(a-b)$$;

2) $$\ast=a(a-10b)$$;

3) $$\left(a+4\right)\left(a-8\right)+4(2a+9)=(a+2)^2\ge 0.$$