Упр.928 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$a>3$$ и $$b>-2$$. Докажите, что $$5a+4b>7$$.
2. Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2-bx+20=0$$ удовлетворяют условию $$x_1=5x_2$$. Найдите значение $$b$$ и корни уравнения.

Так как $$a>3,$$ то $$5a>15.$$

Так как $$b>-2,$$ то $$4b>-8.$$

Складываем неравенства:

$$5a+4b>15-8=7.$$

Следовательно, $$5a+4b>7,$$ что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим уравнение $$x^2-bx+20=0.$$ По теореме Виета:

$$x_1x_2=20,\qquad x_1+x_2=b.$$

По условию $$x_1=5x_2.$$ Тогда

$$5x_2\cdot x_2=20,$$

$$5x_2^2=20,$$

$$x_2^2=4,$$

$$x_2=\pm 2.$$

Если $$x_2=2,$$ то $$x_1=10,$$ и

$$b=x_1+x_2=10+2=12.$$

Если $$x_2=-2,$$ то $$x_1=-10,$$ и

$$b=x_1+x_2=-10+(-2)=-12.$$

Проверим оба случая: при $$b=12$$ корни уравнения $$x^2-12x+20=0$$ равны $$2$$ и $$10$$; при $$b=-12$$ корни равны $$-2$$ и $$-10$$. В обоих случаях условие $$x_1=5x_2$$ выполняется.

Ответ

$$5a+4b>7.$$

$$b=12,\ x_1=10,\ x_2=2;\quad b=-12,\ x_1=-10,\ x_2=-2.$$