Упр.926 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Верно ли утверждение:
1) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$a+b>9$$;
2) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$a+b>8$$;
3) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$a+b>9{,}2$$;
4) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$a-b>-5$$;
5) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$b-a>5$$;
6) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$ab>13$$;
7) если $$a>2$$ и $$b>7$$, то $$3a+2b>20$$;
8) если $$a>2$$ и $$b<-7$$, то $$a-b>9$$;
9) если $$a<2$$ и $$b<7$$, то $$ab<14$$;
10) если $$a>2$$, то $$a^2>4$$;
11) если $$a<2$$, то $$a^2<4$$;
12) если $$a>2$$, то $$\frac{1}{a}<\frac{1}{2}$$;
13) если $$a<2$$, то $$\frac{1}{a}>\frac{1}{2}$$;
14) если $$-3
Число $$-\frac{1}{3}$$ является корнем уравнения $$12x^2-bx+5=0$$. Найдите значение $$b$$ и второй корень уравнения.

Подробный ответ

Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$a+b>2+7=9,$$
значит, утверждение верно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$a+b>9>8,$$
значит, утверждение верно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$a+b>9,$$
но не обязательно $$a+b>9{,}2$$. Утверждение неверно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$a-b$$ может быть меньше $$-5$$. Утверждение неверно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$b-a$$ не обязательно больше $$5$$. Утверждение неверно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$ab>2\cdot 7=14>13,$$
значит, утверждение верно.
Если $$a>2$$ и $$b>7$$, то
$$3a>6,\quad 2b>14,$$
следовательно,
$$3a+2b>20.$$
Утверждение верно.
Если $$a>2$$ и $$b<-7$$, то $$-b>7$$, поэтому
$$a-b>2+7=9.$$
Утверждение верно.
Если $$a<2$$ и $$b<7$$, то произведение $$ab$$ может быть и больше $$14$$. Например,
$$a=-5,\quad b=-7,\quad ab=35>14.$$
Утверждение неверно.
Если $$a>2$$, то
$$a^2>2^2=4,$$
значит, утверждение верно.
Если $$a<2$$, то не обязательно $$a^2<4$$. Например, при $$a=-3$$ имеем $$a^2=9$$. Утверждение неверно.
Если $$a>2$$, то $$a>0$$, значит,
$$\frac{1}{a}<\frac{1}{2}.$$
Утверждение верно.
Если $$a<2$$, то не обязательно
$$\frac{1}{a}>\frac{1}{2}.$$
Например, при $$a=-1$$ получаем $$\frac{1}{a}=-1<\frac{1}{2}.$$
Утверждение неверно.
Если $$-3<a<3$$, то не всегда выполняется
$$-\frac13<\frac1a<\frac13.$$
Например, при $$a=1$$ имеем $$\frac1a=1.$$
Утверждение неверно.

Число $$-\frac13$$ является корнем уравнения $$12x^2-bx+5=0$$. Найдём $$b$$ и второй корень.

Подставим $$x_1=-\frac13$$ в уравнение:

$$12\left(-\frac13\right)^2-b\left(-\frac13\right)+5=0$$
$$\frac{12}{9}+\frac{b}{3}+5=0$$
$$\frac43+\frac{b}{3}+5=0$$
$$\frac{b}{3}=-\frac{19}{3}$$
$$b=-19.$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$12x^2+19x+5=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1x_2=\frac{5}{12}.$$

Так как $$x_1=-\frac13$$, то

$$-\frac13\cdot x_2=\frac{5}{12}$$
$$x_2=\frac{5}{12}\cdot(-3)=-\frac54.$$