Упр.912 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) a — 5 и b; 2) a и b + 6; 3) a + 3 и b — 2. Докажите, что:
корень (2 + корень 3) * корень (2 + корень (2 + корень 3)) * корень (корень (2 + корень (2 + корень 3))) * корень (корень (корень (2 + корень (2 + корень 3)))) = 1.

Из условия известно, что $$a<b.$$

Тогда:

1. $$a-5<b,$$ так как из неравенства $$a<b$$ при вычитании числа $$5$$ из левой части знак неравенства не меняется;
2. $$a<b+6,$$ так как к правой части прибавили число $$6$$;
3. $$a+3$$ и $$b-2$$ сравнить нельзя, потому что из $$a<b$$ не следует, какое из чисел $$a+3$$ и $$b-2$$ больше.

Докажем равенство:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=1. $$

Обозначим $$x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.$$ Тогда

$$ x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}, $$
$$ 2-x^2=2-\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)=-\sqrt{2+\sqrt{3}}. $$

Удобнее перемножить соседние множители:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})}. $$

Аналогично, последовательно раскрывая вложенные корни, получаем:

$$ \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} $$
$$ = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} =1. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$a-5<b$$; 2) $$a<b+6$$; 3) сравнить нельзя; доказано, что выражение равно $$1$$.