Упр.91 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что выражение $$(a+4)(a-8)+4(2a+9)$$ при всех значениях $$a$$ принимает неотрицательные значения.
2. Из двух сёл, расстояние между которыми равно $$9\ \text{км}$$, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через $$20\ \text{мин}$$. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через $$3\ \text{ч}$$. Найдите скорость каждого велосипедиста.

1) Преобразуем выражение:

$$(a+4)(a-8)+4(2a+9)=a^2-8a+4a-32+8a+36$$

$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$(a+2)^2\ge 0$$

при всех значениях $$a$$.

2) Пусть скорость первого велосипедиста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

Тогда за $$20$$ мин $$=\frac13$$ ч они вместе проехали $$9$$ км:

$$\frac13x+\frac13y=9$$

Если бы они ехали в одном направлении, то за $$3$$ ч один догнал бы другого, значит:

$$3x-3y=9$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \frac13x+\frac13y=9,\\ 3x-3y=9. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе разделим на $$3$$:

$$\begin{cases} x+y=27,\\ x-y=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=30,\quad x=15$$

Тогда

$$y=27-15=12$$

Ответ

$$(a+4)(a-8)+4(2a+9)=(a+2)^2\ge 0;$$

скорости велосипедистов: $$15$$ км/ч и $$12$$ км/ч.