Упр.90 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение: 1) $$1-4(x+1)=1{,}8-1{,}6x$$; 2) $$3(0{,}5x-4)+8{,}5x=10x-11$$.
Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения является целым числом: 1) $$\frac{8n-9}{n}$$; 2) $$\frac{n^2+2n-8}{n}$$; 3) $$\frac{9n-4}{3n-5}$$.

Подробный ответ

1) Решим уравнение:

$$1-4(x+1)=1{,}8-1{,}6x$$
$$1-4x-4=1{,}8-1{,}6x$$
$$-4x-3=1{,}8-1{,}6x$$
$$-4x+1{,}6x=1{,}8+3$$
$$-2{,}4x=4{,}8$$
$$x=-2$$

2) Решим уравнение:

$$3(0{,}5x-4)+8{,}5x=10x-11$$
$$1{,}5x-12+8{,}5x=10x-11$$
$$10x-12=10x-11$$
$$-12=-11$$

Получили неверное равенство, значит, уравнение не имеет корней.

3) Найдём натуральные значения $$n$$, при которых выражение является целым числом.

$$\frac{8n-9}{n}=8-\frac{9}{n}$$
Чтобы выражение было целым, число $$9$$ должно делиться на $$n$$. Тогда
$$n=1,\ 3,\ 9.$$

$$\frac{n^2+2n-8}{n}=n+2-\frac{8}{n}$$
Чтобы выражение было целым, число $$8$$ должно делиться на $$n$$. Тогда
$$n=1,\ 2,\ 4,\ 8.$$

$$\frac{9n-4}{3n-5}$$
Преобразуем:
$$9n-4=3(3n-5)+11$$
Тогда
$$\frac{9n-4}{3n-5}=3+\frac{11}{3n-5}.$$
Чтобы выражение было целым, число $$11$$ должно делиться на $$3n-5$$. Так как $$11$$ — простое число, то
$$3n-5=\pm 1,\ \pm 11.$$
Проверяем натуральные $$n$$:
$$3n-5=1 \Rightarrow n=2,$$
$$3n-5=-1 \Rightarrow n=\frac{4}{3},$$
$$3n-5=11 \Rightarrow n=\frac{16}{3},$$
$$3n-5=-11 \Rightarrow n=-2.$$
Подходит только $$n=2$$.