Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 9.14. Сократите дробь (x^71+x^70+?+x+1)/(x^23+x^22+?+x+1).

Представим числитель и знаменатель в виде суммы геометрической прогрессии:

$$ \frac{x^{71}+x^{70}+\dots+x+1}{x^{23}+x^{22}+\dots+x+1} = \frac{(x-1)(x^{71}+x^{70}+\dots+x+1)}{(x-1)(x^{23}+x^{22}+\dots+x+1)} $$

Тогда

$$ \frac{x^{72}-1}{x^{24}-1} = \frac{(x^{24})^3-1^3}{x^{24}-1} $$

Используем формулу разности кубов:

$$ \frac{(x^{24}-1)(x^{48}+x^{24}+1)}{x^{24}-1}=x^{48}+x^{24}+1 $$

Следовательно, дробь сокращается до выражения

$$ x^{48}+x^{24}+1 $$

Ответ

$$ x^{48}+x^{24}+1 $$