Упр.9.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Сократите дробь $$\frac{x^{71}+x^{70}+?+x+1}{x^{23}+x^{22}+?+x+1}$$.

Представим числитель и знаменатель в виде суммы геометрической прогрессии:

$$\frac{x^{71}+x^{70}+\dots+x+1}{x^{23}+x^{22}+\dots+x+1} = \frac{(x-1)(x^{71}+x^{70}+\dots+x+1)}{(x-1)(x^{23}+x^{22}+\dots+x+1)}$$

Тогда

$$\frac{x^{72}-1}{x^{24}-1} = \frac{(x^{24})^3-1^3}{x^{24}-1}$$

Используем формулу разности кубов:

$$\frac{(x^{24}-1)(x^{48}+x^{24}+1)}{x^{24}-1}=x^{48}+x^{24}+1$$

Следовательно, дробь сокращается до выражения

$$x^{48}+x^{24}+1$$

Ответ

$$x^{48}+x^{24}+1$$