Упр.894 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите неравенство:
1. $$a^2+b^2-16a+14b+114>0$$;
2. $$x^2+y^2+10\geq 6x-2y$$;
3. $$c^2+5d^2+4cd-4d+4\geq 0$$.
Найдите значение выражения:
1. $$\sqrt{(17{,}1)^2}$$;
2. $$\sqrt{(-1{,}17)^2}$$;
3. $$\frac{1}{2}\sqrt{6^2}$$;
4. $$-\frac{2}{4}\sqrt{(-4)^2}$$;
5. $$\sqrt{11^4}$$;
6. $$\sqrt{(-23)^4}$$;
7. $$\sqrt{2^6\cdot 7^4}$$;
8. $$\sqrt{(-3)^4\cdot 2^6\cdot(-0{,}1)^2}$$.

Подробный ответ

$$a^2+b^2-16a+14b+114>0$$
Преобразуем выражение к сумме квадратов:
$$a^2-16a+64+b^2+14b+49+1>0$$
$$\left(a-8\right)^2+\left(b+7\right)^2+1>0$$
Так как $$\left(a-8\right)^2\ge 0$$, $$\left(b+7\right)^2\ge 0$$ и $$1>0$$, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
$$x^2+y^2+10\ge 6x-2y$$
Перенесём всё в левую часть:
$$x^2+y^2+10-6x+2y\ge 0$$
$$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+2y+1\right)\ge 0$$
$$\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge 0$$
Сумма квадратов неотрицательна при любых $$x$$ и $$y$$, значит неравенство верно.
$$c^2+5d^2+4cd-4d+4\ge 0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\left(c^2+4cd+4d^2\right)+\left(d^2-4d+4\right)\ge 0$$
$$\left(c+2d\right)^2+\left(d-2\right)^2\ge 0$$
Сумма квадратов неотрицательна при любых $$c$$ и $$d$$, значит неравенство верно.
$$\sqrt{(17,1)^2}=17,1$$
$$\sqrt{(-1,17)^2}=1,17$$
$$\frac12\sqrt{(62)^2}=\frac12\cdot 62=31$$
$$-\frac24\sqrt{(-4)^2}=-\frac24\cdot 4=-4$$
$$\sqrt{11^4}=11^2=121$$
$$\sqrt{(-23)^4}=23^2=529$$
$$\sqrt{2^6\cdot 7^4}=2^3\cdot 7^2=8\cdot 49=392$$
$$\sqrt{(-3)^4\cdot 2^6\cdot (-0,1)^2}=3^2\cdot 2^3\cdot 0,1=9\cdot 8\cdot 0,1=7,2$$

Ответ

1) верно при любых $$a$$ и $$b$$;
2) верно при любых $$x$$ и $$y$$;
3) верно при любых $$c$$ и $$d$$;
4) $$17,1$$; $$1,17$$; $$31$$; $$-4$$; $$121$$; $$529$$; $$392$$; $$7,2$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.6 / 5

Другие учебники