Упр.891 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Выполняется ли неравенство $$\frac{a^2+4}{2}\geq\sqrt{a^2+3}$$ при всех значениях $$a$$?
2. Найдите значение корня:
   1. $$\sqrt{9\cdot100}$$;
   2. $$\sqrt{0{,}49\cdot16}$$;
   3. $$\sqrt{676\cdot0{,}04}$$;
   4. $$\sqrt{0{,}64\cdot0{,}25\cdot121}$$;
   5. $$\sqrt{\frac{25}{196}}$$;
   6. $$\sqrt{18\frac{1}{16}}$$;
   7. $$\sqrt{\frac{9}{64}\cdot\frac{1024}{1089}}$$;
   8. $$\sqrt{3\frac{13}{36}\cdot4\frac{29}{49}}$$.

Проверим неравенство:

$$\frac{a^2+4}{2}\ge \sqrt{a^2+3}.$$

Обе части неотрицательны при любых значениях $$a$$, поэтому можно возвести неравенство в квадрат:

$$\left(\frac{a^2+4}{2}\right)^2\ge a^2+3.$$

Тогда

$$\frac{(a^2+4)^2}{4}-\left(a^2+3\right)\ge 0,$$

$$\frac{a^4+8a^2+16-4a^2-12}{4}\ge 0,$$

$$\frac{a^4+4a^2+4}{4}\ge 0,$$

$$\frac{(a^2+2)^2}{4}\ge 0.$$

Это верно при всех значениях $$a$$, так как квадрат числа неотрицателен.

Найдём значения корней:

1. $$\sqrt{9\cdot 100}=\sqrt{3^2\cdot 10^2}=3\cdot 10=30.$$

2. $$\sqrt{0{,}49\cdot 16}=\sqrt{0{,}7^2\cdot 4^2}=0{,}7\cdot 4=2{,}8.$$

3. $$\sqrt{676\cdot 0{,}04}=\sqrt{26^2\cdot 0{,}2^2}=26\cdot 0{,}2=5{,}2.$$

4. $$\sqrt{0{,}64\cdot 0{,}25\cdot 121}=\sqrt{0{,}8^2\cdot 0{,}5^2\cdot 11^2}=0{,}8\cdot 0{,}5\cdot 11=4{,}4.$$

5. $$\sqrt{\frac{25}{196}}=\frac{5}{14}.$$

6. $$\sqrt{18\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{289}{16}}=\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}.$$

7. $$\sqrt{\frac{9}{64}\cdot \frac{1024}{1089}}=\sqrt{\frac{16}{121}}=\frac{4}{11}.$$

8. $$\sqrt{3\frac{13}{36}\cdot 4\frac{29}{49}}=\sqrt{\frac{121}{36}\cdot \frac{225}{49}}=\frac{11}{6}\cdot \frac{15}{7}=\frac{165}{42}=\frac{55}{14}=3\frac{13}{14}.$$

Ответ

Неравенство верно при всех значениях $$a$$.
1) $$30$$; 2) $$2{,}8$$; 3) $$5{,}2$$; 4) $$4{,}4$$; 5) $$\frac{5}{14}$$; 6) $$4\frac{1}{4}$$; 7) $$\frac{4}{11}$$; 8) $$3\frac{13}{14}$$.