Упр.89 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.
2. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения является целым числом:
   1) $$\frac{n+6}{n}$$;
   2) $$\frac{3n^2-4n-14}{n}$$;
   3) $$\frac{4n+7}{2n-3}$$.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $$x$$ км/ч, а второго — $$y$$ км/ч.

Так как расстояние между селами равно $$9$$ км, а встретились они через $$20$$ мин $$=\frac13$$ ч, получаем:

$$\frac13x+\frac13y=9$$

Умножим на $$3$$:

$$x+y=27$$

Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один догнал бы другого через $$3$$ ч. Значит, разность их скоростей равна

$$\frac{9}{3}=3$$

то есть

$$x-y=3$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=27 \\ x-y=3 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x=30$$

$$x=15$$

Тогда

$$y=27-15=12$$

Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых выражение является целым числом.

1) $$\frac{n+6}{n}=1+\frac{6}{n}$$ — целое число, если $$6$$ делится на $$n$$.

Значит,

$$n=1,2,3,6$$

2) $$\frac{3n^2-4n-14}{n}=3n-4-\frac{14}{n}$$ — целое число, если $$14$$ делится на $$n$$.

Значит,

$$n=1,2,7,14$$

3) $$\frac{4n+7}{2n-3}=\frac{2(2n-3)+13}{2n-3}=2+\frac{13}{2n-3}$$

Это выражение будет целым числом, если $$2n-3$$ делится на $$13$$. Так как $$n$$ — натуральное число, получаем:

$$2n-3=1 \quad \text{или} \quad 2n-3=13$$

Отсюда:

$$n=2 \quad \text{или} \quad n=8$$

Итак, для третьего выражения:

$$n=2,8$$

Ответ

Скорости велосипедистов: $$15$$ км/ч и $$12$$ км/ч.

1) $$n=1,2,3,6$$; 2) $$n=1,2,7,14$$; 3) $$n=2,8$$.