Упр.888 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:
   
   1) $$\frac{a^2}{a^4+1}\le\frac{1}{2}$$;
   
   2) $$\frac{(5a+1)^2}{5}\ge4a$$.
2. Найдите значение выражения:
   
   1) $$0{,}4\sqrt{625}-\frac{1}{4}\sqrt{144}$$;
   
   2) $$\sqrt{64}\cdot\sqrt{0{,}25}+\sqrt{2^4+9}$$;
   
   3) $$3\sqrt{0{,}25}-\sqrt{7^2+24^2}$$.

1. Докажем неравенство

   $$\frac{a^2}{a^4+1}\le \frac12.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{a^2}{a^4+1}-\frac12\le 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2a^2-(a^4+1)}{2(a^4+1)}\le 0.$$

   $$\frac{-(a^4-2a^2+1)}{2(a^4+1)}\le 0.$$

   $$\frac{-(a^2-1)^2}{2(a^4+1)}\le 0.$$

   Так как $$\left(a^2-1\right)^2\ge 0$$ и $$2(a^4+1)>0$$ при любых $$a$$, то неравенство верно.

2. Докажем неравенство

   $$\frac{(5a+1)^2}{5}\ge 4a.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{(5a+1)^2}{5}-4a\ge 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(5a+1)^2-20a}{5}\ge 0.$$

   $$\frac{25a^2+10a+1-20a}{5}\ge 0.$$

   $$\frac{25a^2-10a+1}{5}\ge 0.$$

   $$\frac{(5a-1)^2}{5}\ge 0.$$

   Так как $$\left(5a-1\right)^2\ge 0$$ и $$5>0$$, неравенство верно при любых $$a$$.

3. Вычислим значение выражения:

   $$0{,}4\sqrt{625}-\frac14\sqrt{144}.$$

   $$0{,}4\cdot 25-\frac14\cdot 12=10-3=7.$$

4. $$\sqrt{64}\cdot \sqrt{0{,}25}+\sqrt{2^4+9}.$$

   $$8\cdot 0{,}5+\sqrt{16+9}=4+\sqrt{25}=4+5=9.$$

5. $$3\sqrt{0{,}25}-\sqrt{7^2+24^2}.$$

   $$3\cdot 0{,}5-\sqrt{49+576}=1{,}5-\sqrt{625}=1{,}5-25=-23{,}5.$$

Ответ

1) верно при любых значениях $$a$$; 2) верно при любых значениях $$a$$; 3) $$7$$; 4) $$9$$; 5) $$-23{,}5$$.