Упр.885 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем $$2$$.
2. Найдите значение $$p$$, если известно, что график функции $$y=\frac{p}{x}$$ проходит через точку: 1) $$A(-3; 2)$$; 2) $$B\left(-\frac{1}{7}; 3\right)$$; $$C(-0{,}4; 1{,}6)$$.

Пусть числа $$a$$ и $$\frac{1}{a}$$ — положительные взаимно обратные. Тогда $$a>0$$.

Докажем, что их сумма не меньше 2:

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$

Перенесём 2 в левую часть:

$$a+\frac{1}{a}-2\ge 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+1-2a}{a}\ge 0$$

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0$$

Так как $$a>0$$, а квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0$$

Следовательно,

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Теперь найдём $$p$$ из уравнения $$y=\frac{p}{x}$$ для каждой точки.

1. Точка $$A(-3;2)$$:

   $$2=\frac{p}{-3}$$

   $$p=2\cdot(-3)=-6.$$

2. Точка $$B\left(-\frac{1}{7};3\right)$$:

   $$3=\frac{p}{-\frac{1}{7}}$$

   $$p=3\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=-\frac{3}{7}.$$

3. Точка $$C(-0{,}4;1{,}6)$$:

   $$1{,}6=\frac{p}{-0{,}4}$$

   $$p=1{,}6\cdot(-0{,}4)=-0{,}64.$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

1) $$p=-6$$; 2) $$p=-\frac{3}{7}$$; 3) $$p=-0{,}64$$.