Упр.884 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Как изменится — увеличится или уменьшится — неправильная дробь $$\frac{a}{b}$$, $$a>0$$, $$b>0$$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?
2. Постройте в одной системе координат графики функций $$y=\frac{4}{x}$$ и $$y=x-3$$ и укажите координаты точек их пересечения.

Пусть числитель и знаменатель неправильной дроби $$\frac{a}{b}$$ увеличили на одно и то же число $$x$$. Тогда получим дробь

$$\frac{a+x}{b+x}.$$

Сравним её с исходной:

$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+x)-a(b+x)}{b(b+x)}=\frac{ab+bx-ab-ax}{b(b+x)}=\frac{x(b-a)}{b(b+x)}.$$

Так как $$\frac{a}{b}$$ — неправильная дробь, то $$a>b$$, значит $$b-a<0$$. При $$x>0$$ и положительных $$b$$, $$b+x$$ знаменатель дроби положителен, а числитель $$x(b-a)$$ отрицателен. Следовательно,

$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}<0,$$

то есть

$$\frac{a+x}{b+x}<\frac{a}{b}.$$

Значит, неправильная дробь уменьшится.

Для графиков решим систему:

$$\frac{4}{x}=x-3.$$

Умножим на $$x$$, $$x\neq 0$$:

$$4=x(x-3),$$

$$x^2-3x-4=0,$$

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)=0.$$

Отсюда $$x=4$$ или $$x=-1$$.

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=4$$: $$y=4-3=1$$;

при $$x=-1$$: $$y=-1-3=-4$$.

Точки пересечения графиков: $$(-1;\,-4)$$ и $$\left(4;\,1\right)$$.

Ответ

Неправильная дробь уменьшится. Точки пересечения графиков: $$(-1;\,-4)$$ и $$\left(4;\,1\right)$$.