Упр.883 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Как изменится — увеличится или уменьшится — правильная дробь $$\frac{a}{b}$$, $$a>0$$, $$b>0$$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?
- Постройте график функции $$y=\frac{5}{|x|}$$.
Пусть числитель и знаменатель правильной дроби $$\frac{a}{b}$$ увеличили на одно и то же число $$x$$. Тогда получилась дробь
$$\frac{a+x}{b+x}.$$
Сравним её с исходной дробью:
$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b} = \frac{b(a+x)-a(b+x)}{b(b+x)} = \frac{ab+bx-ab-ax}{b(b+x)} = \frac{x(b-a)}{b(b+x)}.$$
Так как $$\frac{a}{b}$$ — правильная дробь, то $$a<b$$, значит $$b-a>0$$. При $$x>0$$ и $$b>0$$ знаменатель $$b(b+x)>0$$, поэтому
$$\frac{a+x}{b+x}-\frac{a}{b}>0.$$
Следовательно, новая дробь больше исходной, то есть правильная дробь увеличится.
Теперь построим график функции $$y=\frac{5}{|x|}$$.
Так как $$|x|=\begin{cases}x, & x>0,\\ -x, & x<0,\end{cases}$$ то
$$y= \begin{cases} \frac{5}{x}, & x>0,\\ -\frac{5}{x}, & x<0. \end{cases}$$
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$. Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=0$$. Для построения можно отметить точки $$\left(1,5\right)$$, $$\left(5,1\right)$$, $$\left(-1,5\right)$$, $$\left(-5,1\right)$$ и провести через них плавные ветви гиперболы.
Ответ
Дробь увеличится. График функции $$y=\frac{5}{|x|}$$ — две ветви гиперболы в I и II четвертях, симметричные относительно оси $$Oy$$.
