Упр.880 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Сравните сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение.
2. Сократите дробь ($$n$$ — целое число): 1) $$\frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}}$$; 2) $$\frac{7^{n+1}\cdot 2^{n-1}}{14^n}$$; 3) $$\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{12^n}$$.

Сумма квадратов двух чисел $$a$$ и $$b$$ равна $$a^2+b^2$$, а их удвоенное произведение — $$2ab$$.

Рассмотрим разность:

$$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то

$$(a-b)^2 \ge 0,$$

значит,

$$a^2+b^2 \ge 2ab.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $$a=b$$.

Сократим дроби:

1. $$\frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}} =\frac{(3^2)^{n-1}}{3^{2n-3}} =\frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}} =3.$$

2. $$\frac{7^{n+1}\cdot 2^{n-1}}{14^n} =\frac{7^{n+1}\cdot 2^{n-1}}{7^n\cdot 2^n} =7\cdot \frac{1}{2} =\frac{7}{2}.$$

3. $$\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{12^n} =\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{(2^2\cdot 3)^n} =\frac{2^{2n-1}\cdot 3^{n+1}}{2^{2n}\cdot 3^n} =\frac{1}{2}\cdot 3 =\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$a^2+b^2 \ge 2ab,$$ равенство при $$a=b$$.

1) $$3$$; 2) $$\frac{7}{2}$$; 3) $$\frac{3}{2}$$.