Упр.878 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что:
   
   1) $$a^3-6a^2+a-6\geq0$$, если $$a\geq6$$;
   
   2) $$ab+1>a+b$$, если $$a>1$$ и $$b>1$$;
   
   3) $$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}
2. Задание учебника 2019 года. Упростите выражение:
   
   1) $$(a^{-5}-1)(a^{-5}+1)-(a^{-5}-2)^2$$;
   
   2) $$\frac{y^{-2}-x^{-2}}{x+y}$$.

1. $$a^3-6a^2+a-6=a^2(a-6)+(a-6)=(a-6)(a^2+1).$$

   Так как $$a\ge 6,$$ то $$a-6\ge 0,$$ а $$a^2+1>0.$$ Следовательно,

   $$(a-6)(a^2+1)\ge 0.$$

2. $$ab+1-a-b=(ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1).$$

   Так как $$a>1$$ и $$b>1,$$ то $$a-1>0$$ и $$b-1>0,$$ значит

   $$(a-1)(b-1)>0.$$

   Следовательно, $$ab+1>a+b.$$

3. $$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a.$$

   Умножим обе части на $$12$$:

   $$4(a+3)+3(3a-2)<12a$$

   $$4a+12+9a-6<12a$$

   $$a+6<0,$$

   то есть $$a<-6.$$

   При условии $$a<-6$$ неравенство верно.

Ответ

1. $$a^3-6a^2+a-6=(a-6)(a^2+1)\ge 0.$$
2. $$ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0,$$ значит $$ab+1>a+b.$$
3. $$\frac{a+3}{3}+\frac{3a-2}{4}<a \iff a<-6.$$