Упр.876 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Докажите неравенство:
1) $$2a^2-8a+16>0$$;
2) $$4b^2+4b+3>0$$;
3) $$a^2+ab+b^2\geq0$$;
4) $$(3a+2)(2a-4)-(2a-5)^2>3(4a-12)$$;
5) $$a(a-3)>5(a-4)$$;
6) $$(a-b)(a+5b)\leq(2a+b)(a+4b)+ab$$. - Найдите значение выражения:
1) $$25^{-3}\cdot5^8$$;
2) $$64^{-3}:32^{-3}$$;
3) $$10^{-10}:1000^{-3}\cdot(0{,}001)^{-5}$$;
4) $$\frac{(-27)^{-12}\cdot9^5}{81^{-4}\cdot3^{-7}}$$;
5) $$\frac{15^4\cdot5^{-6}}{45^{-3}\cdot3^{-9}}$$;
6) $$\frac{0{,}125^{-8}\cdot16^{-7}}{32^{-2}}$$.
$$2a^2-8a+16>0$$
$$2(a^2-4a+8)>0$$
$$2\bigl((a-2)^2+4\bigr)>0$$
Так как $$\,(a-2)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-2)^2+4>0.$$ Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$.$$4b^2+4b+3>0$$
$$4b^2+4b+1+2>0$$
$$\,(2b+1)^2+2>0$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$b$$.$$a^2+ab+b^2\ge 0$$
$$a^2+ab+\frac14b^2+\frac34b^2\ge 0$$
$$\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2\ge 0$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.$$(3a+2)(2a-4)-(2a-5)^2>3(4a-12)$$
$$6a^2-12a+4a-8-(4a^2-20a+25)>12a-36$$
$$6a^2-8a-8-4a^2+20a-25-12a+36>0$$
$$2a^2+3>0$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$.$$a(a-3)>5(a-4)$$
$$a^2-3a>5a-20$$
$$a^2-8a+20>0$$
$$a^2-8a+16+4>0$$
$$(a-4)^2+4>0$$
Следовательно, неравенство верно при любых значениях $$a$$.$$(a-b)(a+5b)\le (2a+b)(a+4b)+ab$$
$$a^2+4ab-5b^2\le 2a^2+10ab+4b^2$$
$$0\le a^2+6ab+9b^2$$
$$(a+3b)^2\ge 0$$
Значит, неравенство верно при любых значениях $$a$$ и $$b$$.
$$25^{-3}\cdot 5^8=(5^2)^{-3}\cdot 5^8=5^{-6}\cdot 5^8=5^2=25.$$
$$64^{-3}:32^{-3}=(2^6)^{-3}:(2^5)^{-3}=2^{-18}:2^{-15}=2^{-3}=\frac18.$$
$$10^{-10}:1000^{-3}\cdot (0{,}001)^{-5}=10^{-10}:(10^3)^{-3}\cdot (10^{-3})^{-5}$$
$$=10^{-10}:10^{-9}\cdot 10^{15}=10^{-1}\cdot 10^{15}=10^{14}.$$$$\frac{(-27)^{-12}\cdot 9^5}{81^{-4}\cdot 3^{-7}}=\frac{(-3^3)^{-12}\cdot (3^2)^5}{(3^4)^{-4}\cdot 3^{-7}}$$
$$=\frac{3^{-36}\cdot 3^{10}}{3^{-16}\cdot 3^{-7}}=\frac{3^{-26}}{3^{-23}}=3^{-3}=\frac1{27}.$$$$\frac{15^4\cdot 5^{-6}}{45^{-3}\cdot 3^{-9}}=\frac{(3\cdot 5)^4\cdot 5^{-6}}{(3^2\cdot 5)^{-3}\cdot 3^{-9}}$$
$$=\frac{3^4\cdot 5^4\cdot 5^{-6}}{3^{-6}\cdot 5^{-3}\cdot 3^{-9}}=\frac{3^4\cdot 5^{-2}}{3^{-15}\cdot 5^{-3}}=3^{19}\cdot 5=15.$$$$\frac{(0{,}125^{-8}\cdot 16^{-7})}{32^{-2}}=\frac{(2^{-3})^{-8}\cdot (2^4)^{-7}}{(2^5)^{-2}}$$
$$=\frac{2^{24}\cdot 2^{-28}}{2^{-10}}=\frac{2^{-4}}{2^{-10}}=2^6=64.$$
Ответ
1) верно при любых $$a$$; 2) верно при любых $$b$$; 3) верно при любых $$a$$ и $$b$$; 4) верно при любых $$a$$; 5) верно при любых $$a$$; 6) верно при любых $$a$$ и $$b$$; 7) $$25$$; 8) $$\frac18$$; 9) $$10^{14}$$; 10) $$\frac1{27}$$; 11) $$15$$; 12) $$64$$.
