Упр.87 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения является целым числом: 1) $$\frac{n+6}{n}$$; 2) $$\frac{3n^2-4n-14}{n}$$; 3) $$\frac{4n+7}{2n-3}$$.
2. Известно, что $$\frac{x}{y}=4$$. Найдите значение выражения: 1) $$\frac{y}{x}$$; 2) $$\frac{2x-3y}{y}$$; 3) $$\frac{x^2+y^2}{xy}$$.

1. $$\frac{n+6}{n}=\frac{n}{n}+\frac{6}{n}=1+\frac{6}{n}.$$

   Чтобы выражение было целым числом, число $$6$$ должно делиться на $$n$$. Тогда

   $$n=1,\ 2,\ 3,\ 6.$$

2. $$\frac{3n^2-4n-14}{n}=\frac{3n^2}{n}-\frac{4n}{n}-\frac{14}{n}=3n-4-\frac{14}{n}.$$

   Чтобы выражение было целым числом, число $$14$$ должно делиться на $$n$$. Тогда

   $$n=1,\ 2,\ 7,\ 14.$$

3. $$\frac{4n+7}{2n-3}=\frac{4n-6+13}{2n-3}=\frac{2(2n-3)}{2n-3}+\frac{13}{2n-3}=2+\frac{13}{2n-3}.$$

   Чтобы выражение было целым числом, число $$13$$ должно делиться на $$2n-3$$. Так как $$13$$ — простое число, то

   $$2n-3=\pm 1 \quad \text{или} \quad 2n-3=\pm 13.$$

   Отсюда:

   $$2n-3=1 \Rightarrow n=2,$$

   $$2n-3=-1 \Rightarrow n=1,$$

   $$2n-3=13 \Rightarrow n=8,$$

   $$2n-3=-13 \Rightarrow n=-5 \notin \mathbb{N}.$$

   Значит,

   $$n=1,\ 2,\ 8.$$

1. Из условия $$\frac{x}{y}=4$$ получаем

   $$\frac{y}{x}=\frac{1}{4}.$$

2. $$\frac{2x-3y}{y}=\frac{2x}{y}-\frac{3y}{y}=2\cdot \frac{x}{y}-3=2\cdot 4-3=5.$$

3. $$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}.$$

Ответ

1) $$n=1,\ 2,\ 3,\ 6$$; 2) $$n=1,\ 2,\ 7,\ 14$$; 3) $$n=1,\ 2,\ 8$$.

$$\frac{y}{x}=\frac{1}{4},\quad \frac{2x-3y}{y}=5,\quad \frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{17}{4}.$$