Упр.864 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Сравните с нулём значение выражения, где $$a$$ — произвольное число:
   1) $$4+a^2$$;
   2) $$(4-a)^2$$;
   3) $$-4-a^2$$;
   4) $$-4-(a-4)^2$$;
   5) $$(-4)^8+(a-8)^4$$;
   6) $$(4-a)^2+(4a-1000)^2$$.
2. Задание учебника 2019 года. Дано: $$3x-\frac{1}{x}=8$$. Найдите значение выражения $$9x^2+\frac{1}{x^2}$$.

1. $$4+a^2>0,$$
   так как $$a^2\ge 0,$$ а число $$4>0.$$ Значит, выражение положительно при любом $$a.$$
2. $$\left(4-a\right)^2\ge 0,$$
   так как квадрат любого числа неотрицателен.
3. $$-4-a^2<0,$$
   так как $$a^2\ge 0,$$ значит $$-4-a^2\le -4<0.$$
4. $$-4-\left(a-4\right)^2<0,$$
   так как $$\left(a-4\right)^2\ge 0,$$ значит $$-4-\left(a-4\right)^2\le -4<0.$$
5. $$(-4)^8+\left(a-8\right)^4>0,$$
   так как $$(-4)^8>0,$$ а $$\left(a-8\right)^4\ge 0.$$ Сумма положительного и неотрицательного чисел положительна.
6. $$\left(4-a\right)^2+\left(4a-1000\right)^2\ge 0,$$
   так как сумма квадратов неотрицательна.

Теперь найдём значение выражения $$9x^2+\frac{1}{x^2},$$ если $$3x-\frac{1}{x}=8.$$

Возведём данное равенство в квадрат:

$$\left(3x-\frac{1}{x}\right)^2=8^2$$
$$9x^2-2\cdot 3x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=64$$
$$9x^2+\frac{1}{x^2}=64+6=70.$$

Ответ

1) $$>0$$; 2) $$\ge 0$$; 3) $$<0$$; 4) $$<0$$; 5) $$>0$$; 6) $$\ge 0$$; $$70$$.