Упр.858 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$k$$ график функции $$y=\frac{k}{x}$$ проходит через точку $$A(-\sqrt{12};\sqrt{3})$$? Постройте этот график.
2. Докажите, что если $$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}$$, то $$b=0$$ или $$c=0$$.

1) Подставим координаты точки $$A(-\sqrt{12};\sqrt{3})$$ в уравнение $$y=\frac{k}{x}$$:

$$\sqrt{3}=\frac{k}{-\sqrt{12}}.$$

Тогда

$$k=-\sqrt{12}\cdot \sqrt{3}=-\sqrt{36}=-6.$$

Значит, искомая функция:

$$y=-\frac{6}{x}.$$

Это гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Для построения можно отметить несколько точек, например:

$$(-6;1),\ (-3;2),\ (-2;3),\ (-1;6),\ (1;-6),\ (2;-3),\ (3;-2),\ (6;-1).$$

2) Докажем равенство.

Пусть

$$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$(a+b+c)(a-b-c)=(a-b+c)(a+b-c).$$

Раскроем скобки:

$$a^2-(b+c)^2=a^2-(b-c)^2.$$

Тогда

$$a^2-b^2-2bc-c^2=a^2-b^2+2bc-c^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4bc=0.$$

Следовательно,

$$b=0 \text{ или } c=0.$$

Ответ

$$k=-6.$$

Если $$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c},$$ то $$b=0$$ или $$c=0$$.