Упр.856 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 1/(a2+12+36) + 2/(36-a2) + 1/(a2-12a+36) = 144/(a2-36)2;
2) a2/((a-b)(a-c)) + b2/((b-a)(b-c)) + c2/((c-a)(c-b)) = 1.

1) При $$a=\sqrt{5}-3$$ имеем:

$$ a^2-2\sqrt{5}a+2=(\sqrt{5}-3)^2-2\sqrt{5}(\sqrt{5}-3)+2 $$
$$ =5-6\sqrt{5}+9-10+6\sqrt{5}+2=6. $$

2) Докажем тождество:

$$ \frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}. $$

Заметим, что

$$ a^2+12a+36=(a+6)^2,\qquad a^2-12a+36=(a-6)^2,\qquad 36-a^2=-(a^2-36). $$

Тогда левая часть равна

$$ \frac{1}{(a+6)^2}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2}-\frac{2}{a^2-36}+\frac{1}{(a-6)^2}. $$

Приведём к общему знаменателю $$(a^2-36)^2=(a-6)^2(a+6)^2$$:

$$ \frac{(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2}{(a^2-36)^2}. $$

Числитель:

$$ (a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2 $$
$$ =a^2-12a+36-2(a^2-36)+a^2+12a+36=144. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36} = \frac{144}{(a^2-36)^2}. $$

3) Докажем тождество:

$$ \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1. $$

Приведём к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:

$$ \frac{a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2. $$

Сгруппируем:

$$ a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c) $$
$$ =(b-c)\bigl(a^2-a(b+c)+bc\bigr) $$
$$ =(b-c)(a-b)(a-c). $$

Тогда

$$ \frac{(b-c)(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1. $$

Ответ

1) $$6$$; 2) тождество верно; 3) тождество верно.