Упр.854 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Пусть первый рабочий может выполнить задание за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+12$$ ч. По условию вместе они выполняют задание на 4 ч быстрее, чем первый рабочий, значит, вместе они выполняют его за $$x-4$$ ч.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{x-4}$$

Умножим обе части на $$x(x+12)(x-4)$$:

$$(x+12)(x-4)+x(x-4)-x(x+12)=0$$

$$x^2-4x+12x-48+x^2-4x-x^2-12x=0$$

$$x^2-8x-48=0$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-48)=64+192=256$$

$$x=\frac{8\pm 16}{2}$$

$$x_1=12,\quad x_2=-4$$

Так как время не может быть отрицательным, подходит только $$x=12$$.

Теперь найдём натуральные значения $$n$$, при которых значение выражения является натуральным числом.

1. $$\frac{12n^2-5n+33}{n}=12n-5+\frac{33}{n}$$

   Чтобы выражение было натуральным, число $$\frac{33}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — делитель числа $$33$$:

   $$n=1,3,11,33$$

2. $$\frac{n^3-6n^2+54}{n^2}=n-6+\frac{54}{n^2}$$

   Число $$\frac{54}{n^2}$$ должно быть натуральным, значит, $$n^2$$ — делитель числа $$54$$. Проверяем возможные натуральные $$n$$:

   $$n=1 \Rightarrow 1-6+54=49$$

   $$n=3 \Rightarrow 3-6+6=3$$

   Остальные значения не подходят.

   Значит, $$n=1,3$$.

3. $$\frac{10-4n}{n}=\frac{10}{n}-4$$

   Чтобы выражение было натуральным, $$n$$ должно быть делителем числа $$10$$. Проверяем:

   $$n=1 \Rightarrow 10-4=6$$

   $$n=2 \Rightarrow 5-4=1$$

   $$n=5 \Rightarrow 2-4=-2$$

   $$n=10 \Rightarrow 1-4=-3$$

   Подходят $$n=1,2$$.

4. $$\frac{12-3n}{n}=\frac{12}{n}-3$$

   Число $$n$$ должно быть делителем числа $$12$$. Проверяем:

   $$n=1 \Rightarrow 12-3=9$$

   $$n=2 \Rightarrow 6-3=3$$

   $$n=3 \Rightarrow 4-3=1$$

   $$n=4 \Rightarrow 3-3=0$$

   $$n=6 \Rightarrow 2-3=-1$$

   $$n=12 \Rightarrow 1-3=-2$$

   Подходят $$n=1,2,3$$.

Ответ

Первый рабочий выполнит задание за $$12$$ ч.

1) $$n=1,3,11,33$$; 2) $$n=1,3$$; 3) $$n=1,2$$; 4) $$n=1,2,3$$.