Упр.850 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на $$1\ \text{ч}$$ больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за $$30\ \text{ч}$$. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?
Выполните действия:
1) $$\frac{2a-1}{a-4}-\frac{3a+2}{2(a-4)}$$;
2) $$\frac{x+2}{3x+9}-\frac{4-x}{5x+15}$$;
3) $$\frac{m+1}{m-3}-\frac{m+2}{m+3}$$.

Подробный ответ

Пусть через первую трубу бассейн наполняется за $$x$$ ч. Тогда через вторую трубу он сливается за $$x+1$$ ч.

За 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а вторая сливает $$\frac{1}{x+1}$$ бассейна. Если открыть обе трубы одновременно, то за 1 час бассейн будет наполняться на $$\frac{1}{30}$$ часть.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{30}$$

Умножим обе части на $$30x(x+1)$$:

$$30(x+1)-30x=x(x+1)$$

$$30x+30-30x=x^2+x$$

$$x^2+x-30=0$$

Найдём корни:

$$D=1+120=121,\quad \sqrt{D}=11$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 11}{2}$$

$$x_1=-6,\quad x_2=5$$

Так как время не может быть отрицательным, подходит только $$x=5$$.