Упр.84 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений: 1) $$\frac{4a-b}{a}$$; 2) $$\frac{b^2+7b+3}{b+7}$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6}$$ принимает отрицательные значения.

1) Преобразуем дробь, выделив целую часть:

$$\frac{4a-b}{a}=\frac{4a}{a}-\frac{b}{a}=4-\frac{b}{a}.$$

2) Аналогично:

$$\frac{b^2+7b+3}{b+7}=\frac{b(b+7)+3}{b+7}=\frac{b(b+7)}{b+7}+\frac{3}{b+7}=b+\frac{3}{b+7}.$$

3) Упростим выражение:

$$\frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6}$$

$$=\frac{2-b^2-7+3b+7b-20}{(b-5)^6}$$

$$=\frac{-b^2+10b-25}{(b-5)^6}$$

$$=-\frac{b^2-10b+25}{(b-5)^6}=-\frac{(b-5)^2}{(b-5)^6}=-\frac{1}{(b-5)^4}.$$

При $$b\ne 5$$ знаменатель $$(b-5)^4>0$$, значит

$$-\frac{1}{(b-5)^4}<0.$$

Ответ

1) $$4-\frac{b}{a}$$; 2) $$b+\frac{3}{b+7}$$; выражение равно $$-\frac{1}{(b-5)^4}$$ и при всех допустимых значениях переменной отрицательно.