Упр.830 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) Для функции

$$y= \begin{cases} -\dfrac{8}{x}, & x<-2,\\ x^2, & x\ge -2 \end{cases}$$

рассмотрим отдельно каждую часть графика.

При $$x<-2$$ имеем ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{8}{x}$$. На границе $$x=-2$$ получаем $$y=4$$, но эта точка не входит в первую часть графика.

При $$x\ge -2$$ имеем параболу $$y=x^2$$, которая начинается в точке $$(-2;4)$$ и проходит через точку $$(0;0)$$.

Теперь определим число общих точек с прямой $$y=a$$.

• Для ветви гиперболы $$y=-\dfrac{8}{x}$$ при $$x<-2$$ значения $$y$$ лежат в промежутке $$0<y<4$$.
• Для параболы $$y=x^2$$ при $$x\ge -2$$ значения $$y$$ лежат в промежутке $$y\ge 0$$, причём:
  • при $$a=0$$ — одна точка;
  • при $$0<a<4$$ — три точки;
  • при $$a=4$$ — две точки;
  • при $$a>4$$ — одна точка.

Значит:

1) единственная общая точка при $$a=0$$ и при $$a>4$$;

2) две общие точки при $$a=4$$;

3) три общие точки при $$0<a<4$$.

2) Пусть по плану рабочий должен был изготавливать $$x$$ деталей в день. Тогда за весь срок он должен был изготовить $$360$$ деталей, то есть работать $$\dfrac{360}{x}$$ дней.

Первые 5 дней он изготавливал по $$x$$ деталей, затем стал изготавливать по $$x+4$$ деталей в день. За день до срока он уже изготовил $$372$$ детали, значит, на последний день осталось изготовить

$$372-5x$$

деталей, на что ушёл ещё один день. Тогда составим уравнение:

$$5+1+\dfrac{372-5x}{x+4}=\dfrac{360}{x}$$

Упростим:

$$6+\dfrac{372-5x}{x+4}=\dfrac{360}{x}$$

$$6x(x+4)+x(372-5x)-360(x+4)=0$$

$$6x^2+24x+372x-5x^2-360x-1440=0$$

$$x^2+36x-1440=0$$

Найдём корни:

$$D=36^2+4\cdot1440=1296+5760=7056$$

$$\sqrt{7056}=84$$

$$x_{1,2}=\dfrac{-36\pm84}{2}$$

$$x_1=-60,\quad x_2=24$$

Отрицательный корень не подходит, значит, по плану рабочий должен был изготавливать $$24$$ детали в день.

Ответ

1) $$a=0$$ и $$a>4$$; 2) $$a=4$$; 3) $$0<a<4$$.
Рабочий должен был изготавливать $$24$$ детали в день.