Упр.828 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) Упростим выражение:

$$(a-1)^2\left(\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-2a+1}\right)+\frac{2}{a+1}.$$

Разложим знаменатели на множители:

$$a^2-1=(a-1)(a+1), \qquad a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда

$$(a-1)^2\left(\frac{1}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{(a-1)^2}\right)+\frac{2}{a+1}.$$

Приведём к общему знаменателю в скобках:

$$(a-1)^2\cdot \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1} = (a-1)^2\cdot \frac{2a}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1}.$$

Сокращаем:

$$\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1} = \frac{2a+2}{a+1} = \frac{2(a+1)}{a+1} =2.$$

При всех допустимых значениях переменной выражение равно $$2$$, значит оно положительное.

2) Пусть $$x$$ часов требуется для наполнения бассейна через первую трубу. Тогда через вторую трубу потребуется $$x+2$$ часа, а через третью — $$x+8$$ часов.

За 1 час первая труба наполняет бассейн на $$\frac{1}{x}$$, вторая — на $$\frac{1}{x+2}$$, третья — на $$\frac{1}{x+8}$$.

По условию, первая труба наполняет бассейн за то же время, что и две другие вместе, значит:

$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+8}=\frac{1}{x}.$$

Умножим на $$x(x+2)(x+8)$$:

$$x(x+8)+x(x+2)=(x+2)(x+8).$$

$$x^2+8x+x^2+2x=x^2+10x+16$$

$$x^2-16=0$$

$$x=\pm 4.$$

Так как время не может быть отрицательным, получаем $$x=4$$.

Тогда:

$$x+2=6,\qquad x+8=12.$$

Ответ

1) Да, выражение равно $$2$$ и является положительным при всех допустимых значениях переменной.
2) Через первую трубу — $$4$$ ч, через вторую — $$6$$ ч, через третью — $$12$$ ч.