Упр.825 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{x^3-8}=\frac{5}{x-2}$$;
   2) $$\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{8}{x^2+2x-3}$$.
2. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на $$5\%$$ меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

1. $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{x^3-8}=\frac{5}{x-2}$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$
   Тогда
   $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)}-\frac{5}{x-2}=0.$$
   Умножим на $$x-2$$:
   $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}(x-2)+\frac{x^2+39}{x^2+2x+4}-5=0.$$
   Умножим на $$x^2+2x+4$$:
   $$(3x+2)(x-2)+x^2+39-5(x^2+2x+4)=0.$$
   Получаем:
   $$3x^2-6x+2x-4+x^2+39-5x^2-10x-20=0,$$
   $$-x^2-14x+15=0,$$
   $$x^2+14x-15=0.$$
   Тогда
   $$D=14^2-4\cdot 1\cdot(-15)=196+60=256,$$
   $$x=\frac{-14\pm 16}{2}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-15,\quad x_2=1.$$
   Оба значения подходят, так как $$x\neq 2$$.

2. $$\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{8}{x^2+2x-3}$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$
   Тогда
   $$\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}-\frac{8}{(x+3)(x-1)}=0,$$
   где $$x\neq 1,\; x\neq -3.$$
   Умножим на $$(x-1)(x+3)$$:
   $$x(x+3)+(x+1)(x-1)-8=0.$$
   Получаем:
   $$x^2+3x+x^2-1-8=0,$$
   $$2x^2+3x-9=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-9)=9+72=81,$$
   $$x=\frac{-3\pm 9}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=-3,\quad x_2=\frac{3}{2}.$$
   Значение $$x=-3$$ не подходит, так как не входит в область допустимых значений.
   Остаётся
   $$x=\frac{3}{2}.$$

3. Пусть в исходном куске сплава было $$x$$ кг меди. Тогда масса сплава равна $$x+10$$ кг, а после добавления $$10$$ кг меди — $$x+20$$ кг.

   Доля меди в исходном сплаве:
   $$\frac{x}{x+10},$$
   а в новом сплаве:
   $$\frac{x+10}{x+20}.$$
   По условию содержание меди увеличилось на $$5\% = \frac{1}{20}$$:
   $$\frac{x+10}{x+20}-\frac{x}{x+10}=\frac{1}{20}.$$
   Умножим на $$20(x+20)(x+10)$$:
   $$20(x+10)^2-20x(x+20)-(x+20)(x+10)=0.$$
   Раскроем скобки:
   $$20(x^2+20x+100)-20x^2-400x-x^2-30x-200=0,$$
   $$-x^2-30x+1800=0,$$
   $$x^2+30x-1800=0.$$
   Тогда
   $$D=30^2-4\cdot 1\cdot(-1800)=900+7200=8100,$$
   $$x=\frac{-30\pm 90}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-60,\quad x_2=30.$$
   Отрицательное значение не подходит, значит исходный кусок содержал $$30$$ кг меди.

Ответ

1) $$x=-15,\; 1$$; 2) $$x=\frac{3}{2}$$; 3) $$30$$ кг.