Упр.821 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=\frac{1}{5}$$;
   2) $$\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x^2-4}$$;
   3) $$\frac{9}{x+3}+\frac{14}{x-3}=\frac{24}{x}$$.
2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для этого на 9 дней больше, чем другому?

1. $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=\frac15$$

   ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne -10.$$

   Умножим обе части на $$5x(x+10)$$:

   $$300(x+10)-300x-x(x+10)=0$$
   $$300x+3000-300x-x^2-10x=0$$
   $$x^2+10x-3000=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-3000)=12100,$$
   $$\sqrt{D}=110.$$

   $$x=\frac{-10\pm 110}{2}$$
   $$x_1=50,\quad x_2=-60.$$

2. $$\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x^2-4}$$

   ОДЗ: $$x\ne \pm 2.$$

   Умножим обе части на $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:

   $$x(x-2)+(x+2)^2-16=0$$
   $$x^2-2x+x^2+4x+4-16=0$$
   $$2x^2+2x-12=0$$
   $$x^2+x-6=0$$
   $$(x+3)(x-2)=0$$

   $$x=-3 \text{ или } x=2.$$

   Число $$2$$ не подходит, так как нарушает ОДЗ.

3. $$\frac{9}{x+3}+\frac{14}{x-3}=\frac{24}{x}$$

   ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne \pm 3.$$

   Умножим обе части на $$x(x-3)(x+3)$$:

   $$9x(x-3)+14x(x+3)-24(x+3)(x-3)=0$$
   $$9x^2-27x+14x^2+42x-24(x^2-9)=0$$
   $$-x^2+15x+216=0$$
   $$x^2-15x-216=0$$
   $$(x-24)(x+9)=0$$

   $$x=24 \text{ или } x=-9.$$

4. Пусть одному рабочему нужно $$x$$ дней, тогда другому — $$x+9$$ дней.

   Тогда их совместная производительность:

   $$\frac1x+\frac1{x+9}=\frac1{20}.$$

   Умножим на $$20x(x+9)$$:

   $$20(x+9)+20x-x(x+9)=0$$
   $$20x+180+20x-x^2-9x=0$$
   $$x^2-31x-180=0$$

   $$D=31^2+4\cdot 180=1681,$$
   $$\sqrt{D}=41.$$

   $$x=\frac{31\pm 41}{2}$$
   $$x_1=-5,\quad x_2=36.$$

   Отрицательное значение не подходит, значит первый рабочий выполнит задание за $$36$$ дней, второй — за $$45$$ дней.

Ответ

1) $$x=-60,\; 50$$; 2) $$x=-3$$; 3) $$x=-9,\; 24$$; 4) $$36$$ дней и $$45$$ дней.