Упр.820 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения:
   1) $$\frac{10}{x+2}+\frac{9}{x}=1$$;
   2) $$\frac{48}{14-x}-\frac{48}{14+x}=1$$.
2. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь будет на $$\frac{1}{3}$$ меньше исходной. Найдите исходную дробь.

1. $$\frac{10}{x+2}+\frac{9}{x}=1$$

   ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq -2.$$ Умножим уравнение на $$x(x+2)$$:

   $$10x+9(x+2)=x(x+2)$$
   $$10x+9x+18=x^2+2x$$
   $$x^2-17x-18=0$$
   $$(x-18)(x+1)=0$$
   $$x=18 \text{ или } x=-1$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $$\frac{48}{14-x}-\frac{48}{14+x}=1$$

   ОДЗ: $$x\neq 14,\; x\neq -14.$$ Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{48(14+x)-48(14-x)}{(14-x)(14+x)}=1$$
   $$\frac{48(14+x-14+x)}{196-x^2}=1$$
   $$\frac{96x}{196-x^2}=1$$
   $$96x=196-x^2$$
   $$x^2+96x-196=0$$

   $$D=96^2+4\cdot 196=9216+784=10000$$
   $$x=\frac{-96\pm 100}{2}$$
   $$x_1=2,\quad x_2=-98$$

   Оба корня подходят.

3. Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+5$$.

   После изменения получаем дробь $$\frac{x-3}{x+9}$$, и она на $$\frac13$$ меньше исходной:

   $$\frac{x-3}{x+9}=\frac{x}{x+5}-\frac13$$

   Умножим на $$3(x+5)(x+9)$$:

   $$3(x-3)(x+5)=3x(x+9)-(x+5)(x+9)$$
   $$3x^2+6x-45=3x^2+27x-x^2-14x-45$$
   $$x^2-7x=0$$
   $$x(x-7)=0$$

   $$x=0$$ не подходит, так как дробь должна быть обыкновенной. Значит, $$x=7$$.

   Тогда исходная дробь:

   $$\frac{x}{x+5}=\frac{7}{12}$$

Ответ

1) $$x=-1,\; 18$$; 2) $$x=2,\; -98$$; 3) $$\frac{7}{12}$$.