Упр.82 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{2-b^2}{(b-5)^2}-\frac{7-3b}{(b-5)^2}+\frac{7b-20}{(b-5)^2}$$ принимает отрицательные значения.
2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$y$$ значение выражения $$\frac{17y+5}{21y-3}-\frac{9-11y}{21y-3}$$ не зависит от значения $$y$$.

1) Упростим выражение:

$$\frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6} = \frac{2-b^2-7+3b+7b-20}{(b-5)^6}$$

$$= \frac{-b^2+10b-25}{(b-5)^6} = -\frac{b^2-10b+25}{(b-5)^6} = -\frac{(b-5)^2}{(b-5)^6} = -\frac{1}{(b-5)^4}$$

При допустимых значениях переменной $$b \ne 5$$, поэтому $$(b-5)^4>0$$ и, следовательно,

$$-\frac{1}{(b-5)^4}<0.$$

Значит, выражение при всех допустимых значениях переменной принимает отрицательные значения.

2) Упростим выражение:

$$\frac{17y+5}{21y-3}-\frac{9-11y}{21y-3} = \frac{17y+5-9+11y}{21y-3} = \frac{28y-4}{21y-3}$$

$$= \frac{4(7y-1)}{3(7y-1)} = \frac{4}{3},$$

где $$y \ne \frac{1}{7}$$. Полученное значение не зависит от $$y$$.

Ответ

1) $$-\dfrac{1}{(b-5)^4}<0$$ при $$b \ne 5$$.

2) $$\dfrac{4}{3}$$.