Упр.817 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{x^2-9x-10}{x^2-1}=0$$;
   2) $$\frac{x^2+5x-14}{x^2-6x+8}=0$$.
2. Турист проплыл на байдарке $$4\text{ км}$$ по озеру и $$5\text{ км}$$ по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы $$6\text{ км}$$ против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна $$2\text{ км/ч}$$?

1. $$\frac{x^2-9x-10}{x^2-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$\begin{cases} x^2-9x-10=0,\\ x^2-1\ne 0. \end{cases}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-9x-10=(x-10)(x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$x=10 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

   Но при $$x=-1$$ знаменатель равен нулю, значит это значение не подходит.

   Остаётся:

   $$x=10.$$

2. $$\frac{x^2+5x-14}{x^2-6x+8}=0$$

   Составим условия:

   $$\begin{cases} x^2+5x-14=0,\\ x^2-6x+8\ne 0. \end{cases}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2+5x-14=(x+7)(x-2)=0$$

   Тогда:

   $$x=-7 \quad \text{или} \quad x=2.$$

   Проверим знаменатель:

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$$

   При $$x=2$$ знаменатель равен нулю, значит это значение не подходит. Подходит только $$x=-7$$.

3. Пусть $$x$$ км/ч — скорость туриста по озеру. Тогда по течению он плыл со скоростью $$x+2$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$x-2$$ км/ч.

   По условию:

   $$\frac{4}{x}+\frac{5}{x+2}=\frac{6}{x-2}$$

   Умножим на $$x(x+2)(x-2)$$:

   $$4(x+2)(x-2)+5x(x-2)-6x(x+2)=0$$

   $$4(x^2-4)+5x^2-10x-6x^2-12x=0$$

   $$3x^2-22x-16=0$$

   Найдём корни:

   $$D=(-22)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=484+192=676$$

   $$x=\frac{22\pm 26}{6}$$

   $$x_1=-\frac{2}{3}, \quad x_2=8$$

   Отрицательное значение не подходит, значит скорость туриста по озеру равна $$8$$ км/ч.

Ответ

1) $$x=10$$;
2) $$x=-7$$;
3) $$8$$ км/ч.