Упр.816 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{x^2-9x+18}{x^2-9}=0$$;
   2) $$\frac{3x^2-14x-5}{3x^2+x}=0$$.
2. Группа школьников выехала на экскурсию из города А в город В на автобусе, а вернулась в город А по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город В. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами А и В составляет 160 км, а длина железной дороги — 150 км.

1. $$\frac{x^2-9x+18}{x^2-9}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x^2-9x+18=0, \qquad x^2-9\ne 0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-9x+18=(x-3)(x-6)=0$$

   Отсюда
   $$x=3 \text{ или } x=6.$$

   Проверим ОДЗ:
   $$x^2-9\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm 3.$$
   Значит, $$x=3$$ не подходит.

   Остаётся $$x=6$$.

2. $$\frac{3x^2-14x-5}{3x^2+x}=0$$

   Тогда
   $$3x^2-14x-5=0, \qquad 3x^2+x\ne 0.$$

   Найдём корни квадратного уравнения:
   $$D=(-14)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256.$$
   $$\sqrt{D}=16.$$
   $$x=\frac{14\pm 16}{2\cdot 3}.$$

   $$x_1=\frac{14-16}{6}=-\frac13, \qquad x_2=\frac{14+16}{6}=5.$$

   Проверим ОДЗ:
   $$3x^2+x=x(3x+1)\ne 0 \Rightarrow x\ne 0,\; x\ne -\frac13.$$
   Значит, $$x=-\frac13$$ не подходит.

   Остаётся $$x=5$$.

3. Пусть скорость поезда равна $$x$$ км/ч, тогда скорость автобуса равна $$x+20$$ км/ч.
   Время обратного пути на $$30$$ мин больше, то есть на $$\frac12$$ ч.

   Составим уравнение:
   $$\frac{150}{x}-\frac{160}{x+20}=\frac12.$$

   Умножим на $$2x(x+20)$$:
   $$300(x+20)-320x=x(x+20).$$

   $$300x+6000-320x=x^2+20x$$
   $$x^2+40x-6000=0.$$

   Найдём корни:
   $$D=40^2-4\cdot 1\cdot(-6000)=1600+24000=25600,$$
   $$\sqrt{D}=160.$$
   $$x=\frac{-40\pm 160}{2}.$$

   $$x_1=-100,\qquad x_2=60.$$
   Отрицательное значение не подходит, значит скорость поезда равна $$60$$ км/ч.

Ответ

1) $$x=6$$
2) $$x=5$$
3) $$60\text{ км/ч}$$