Упр.81 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение выражения (12x-25)/(20x-15) + (8x+10)/(20x-15) не зависит от значения х.

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{a^2-6}{(a-2)^4}-\frac{7a-4}{(a-2)^4}+\frac{3a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-6-7a+4+3a+6}{(a-2)^4} $$

$$ = \frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4} = \frac{(a-2)^2}{(a-2)^4} = \frac{1}{(a-2)^2}. $$

При допустимых значениях переменной $$a \ne 2$$, поэтому $$ (a-2)^2>0 $$, а значит

$$ \frac{1}{(a-2)^2}>0. $$

Следовательно, выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях $$a$$.

2) Упростим второе выражение:

$$ \frac{12x-25}{20x-15}+\frac{8x+10}{20x-15} = \frac{12x-25+8x+10}{20x-15} = \frac{20x-15}{20x-15} =1. $$

При этом $$20x-15 \ne 0$$, то есть $$x \ne \frac{3}{4}$$. Значение выражения равно $$1$$ и не зависит от $$x$$.

Ответ

$$ \frac{1}{(a-2)^2}>0,\qquad \frac{12x-25}{20x-15}+\frac{8x+10}{20x-15}=1. $$