Упр.806 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Сократите дробь:

1) $$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$;

2) $$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-5\sqrt{2}}$$;

3) $$\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}-3}$$.
Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно $$15\ \text{км}$$, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался он со скоростью на $$3\ \text{км/ч}$$ большей и потратил на обратный путь на $$15\ \text{мин}$$ меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника.

Подробный ответ

$$\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$$
$$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-5\sqrt{2}}=\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{2}-5\sqrt{2}}=\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}.$$

$$5-\sqrt{5}=\sqrt{5}(\sqrt{5}-1),$$
поэтому
$$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-5)}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{2}\sqrt{5}(1-\sqrt{5})}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
$$\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}-3}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Пусть $$x$$ км/ч — первоначальная скорость всадника, тогда $$x+3$$ км/ч — скорость на обратном пути.

$$15\text{ мин}=\frac{15}{60}=\frac14\text{ ч}.$$

Составим уравнение:
$$\frac{15}{x}-\frac{15}{x+3}=\frac14.$$

Умножим обе части на $$4x(x+3)$$:
$$60(x+3)-60x=x(x+3)$$
$$60x+180-60x=x^2+3x$$
$$x^2+3x-180=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-180)=9+720=729,$$
$$\sqrt{D}=27.$$
Тогда
$$x=\frac{-3\pm 27}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-15 \quad \text{(не подходит)}, \qquad x_2=12.$$