Упр.801 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
а) $$y=\frac{x^2-2x-8}{x-4}$$;
б) $$y=\frac{x^2-x-2}{x+1}-\frac{x^2-x-30}{x+5}$$.
На экране монитора компьютера записано число 1. Ежесекундно компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число 123 456 789?

Подробный ответ

1) Преобразуем дробь:

$$y=\frac{x^2-2x-8}{x-4}=\frac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2,\quad x\ne 4.$$

Значит, график функции — прямая $$y=x+2$$ с выколотой точкой $$\left(4;6\right)$$.

2) Упростим выражение:

$$y=\frac{x^2-x-2}{x+1}-\frac{x^2-x-30}{x+5}.$$

Разложим числители на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),\qquad x^2-x-30=(x-6)(x+5).$$

Тогда

$$y=\frac{(x-2)(x+1)}{x+1}-\frac{(x-6)(x+5)}{x+5}=x-2-(x-6)=4,$$

где $$x\ne -1,\; x\ne -5$$.

Следовательно, график — прямая $$y=4$$ с выколотыми точками $$\left(-1;4\right)$$ и $$\left(-5;4\right)$$.

3) Число на экране после каждого шага меняется по правилу: к нему прибавляют сумму его цифр. Остаток от деления на $$9$$ при этом не меняется, значит, все появляющиеся числа имеют тот же остаток по модулю $$9$$, что и число $$1$$, то есть не делятся на $$9$$.

Число $$123\,456\,789$$ имеет сумму цифр

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,$$

значит, оно делится на $$9$$. Следовательно, такое число появиться не может.