Упр.80 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$y$$ значение выражения $$\frac{17y+5}{21y-3}-\frac{9-11y}{21y-3}$$ не зависит от значения $$y$$.
2. Докажите тождество:
   
   1) $$\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab}=1$$;
   
   2) $$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}=2$$.

1) Преобразуем выражение:

$$\frac{17y+5}{21y-3}-\frac{9-11y}{21y-3} =\frac{17y+5-9+11y}{21y-3} =\frac{28y-4}{21y-3}.$$

Вынесем общий множитель:

$$\frac{28y-4}{21y-3} =\frac{4(7y-1)}{3(7y-1)} =\frac{4}{3},$$

при $$7y-1\ne 0$$, то есть $$y\ne \frac17$$. Значение выражения не зависит от $$y$$.

2) Докажем тождество:

$$\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab} =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{4ab} =\frac{4ab}{4ab}=1.$$

3) Докажем тождество:

$$\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} =\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2+b^2} =\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2} =\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=2.$$

Ответ

$$\frac{17y+5}{21y-3}-\frac{9-11y}{21y-3}=\frac43,\quad y\ne \frac17.$$

1) $$1$$; 2) $$2$$.