Упр.8.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 8.26. Упростите выражение (x^3-y^3)/2y (2y/(4-2y-2x+xy)+(2xy+4y)/(x-y)(x^2-4) ).

Упростим выражение:

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{4-2y-2x+xy}+\frac{2xy+4y}{(x-y)(x^2-4)}\right) $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ 4-2y-2x+xy=(2-y)(2-x), $$
$$ x^2-4=(x-2)(x+2). $$

Тогда

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{(2-y)(2-x)}+\frac{2y(x+2)}{(x-y)(x-2)(x+2)}\right). $$

Сократим во второй дроби на $$x+2$$:

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\left(\frac{2y}{(2-y)(2-x)}+\frac{2y}{(x-y)(x-2)}\right). $$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\cdot \frac{2y(x-y)(x-2)+2y(2-y)(2-x)}{(2-y)(2-x)(x-y)(x-2)}. $$

Вынесем $$2y$$ и упростим числитель:

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\cdot \frac{2y\bigl((x-y)(x-2)+(2-y)(2-x)\bigr)}{(2-y)(2-x)(x-y)(x-2)}. $$

$$ (x-y)(x-2)+(2-y)(2-x)=x^2-xy-2x+2y+4-2x-2y+xy=x^2-4x+4=(x-2)^2. $$

Тогда

$$ \frac{x^3-y^3}{2y}\cdot \frac{2y(x-2)^2}{(2-y)(2-x)(x-y)(x-2)}. $$

Сократим $$2y$$ и один множитель $$x-2$$:

$$ \frac{x^3-y^3}{1}\cdot \frac{x-2}{(2-y)(2-x)(x-y)}. $$

Используем формулу разности кубов:

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2). $$

Тогда

$$ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-2)}{(2-y)(2-x)(x-y)}. $$

Сократим на $$x-y$$ и учтём, что $$2-x=-(x-2)$$:

$$ \frac{(x^2+xy+y^2)(x-2)}{(2-y)(2-x)} = -\frac{x^2+xy+y^2}{2-y} = \frac{x^2+xy+y^2}{y-2}. $$

Ответ

$$ \frac{x^2+xy+y^2}{y-2} $$