Упр.8.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Верно ли утверждение:

1. если $$a>b$$, то $$a>-b$$;
2. если $$a>b$$, то $$2a>b$$;
3. если $$a>b$$, то $$2a+1>2b$$;
4. если $$b>a$$, то $$\frac{b}{a}>1$$;
5. если $$\frac{a}{b}>1$$ и $$a>0$$, то $$a>b$$;
6. если $$a>b$$, то $$ab>b^2$$;
7. так как $$5>3$$, то $$5a^2>3a^2$$?

1. Если $$a>b$$, то утверждение $$a>-b$$ верно не всегда. Например, при $$a=-1$$ и $$b=-2$$ имеем $$-1>-2$$, но $$-1\not>2$$. Значит, утверждение неверно.
2. Если $$a>b$$, то после умножения на положительное число $$2$$ знак неравенства не меняется:
   $$2a>2b.$$
   Но из этого не следует $$2a>b$$. Например, при $$a=1$$ и $$b=0{,}5$$ получаем $$2a=2>0{,}5$$, а при $$a=1$$ и $$b=1{,}5$$ условие $$a>b$$ не выполнено. Следовательно, утверждение в общем случае неверно.
3. Если $$a>b$$, то при умножении на $$2$$ и прибавлении $$1$$ получаем:
   $$2a>2b \Rightarrow 2a+1>2b+1,$$
   а значит, тем более $$2a+1>2b$$. Утверждение верно.
4. Если $$b>a$$, то из $$\dfrac{b}{a}>1$$ следует, что $$a$$ и $$b$$ должны быть одного знака и $$a\neq 0$$. Но само неравенство $$b>a$$ не гарантирует этого. Например, при $$a=-2$$ и $$b=-1$$ имеем $$b>a$$, но
   $$\frac{b}{a}=\frac{-1}{-2}=\frac12<1.$$
   Значит, утверждение неверно.
5. Если $$\dfrac{a}{b}>1$$ и $$a>0$$, то обязательно $$b>0$$, иначе дробь не могла бы быть больше 1. Тогда можно умножить неравенство $$\dfrac{a}{b}>1$$ на положительное число $$b$$:
   $$a>b.$$
   Утверждение верно.
6. Из $$a>b$$ не всегда следует $$ab>b^2$$, потому что при умножении на $$b$$ знак неравенства зависит от знака $$b$$. Например, при $$a=2$$ и $$b=-1$$ имеем $$2>-1$$, но
   $$ab=-2,\quad b^2=1,\quad -2>1$$ — неверно.
   Значит, утверждение неверно.
7. Из $$5>3$$ следует $$5a^2>3a^2$$ только при $$a^2>0$$, то есть при $$a\neq 0$$. Если $$a=0$$, то получаем
   $$5a^2=3a^2=0,$$
   и строгое неравенство неверно. Значит, утверждение верно лишь при $$a\neq 0$$.

Ответ

1) неверно; 2) неверно; 3) верно; 4) неверно; 5) верно; 6) неверно; 7) верно при $$a\neq 0$$.