Упр.799 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(корень 6 + 2)/(корень 6 — 2) — (корень 6 — 2)/(корень 6 + 2)?

Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов:

$$ \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}-\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} = \frac{(\sqrt{6}+2)^2-(\sqrt{6}-2)^2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} $$

Вычислим числитель и знаменатель:

$$ (\sqrt{6}+2)^2=6+4\sqrt{6}+4, $$
$$ (\sqrt{6}-2)^2=6-4\sqrt{6}+4. $$

Тогда

$$ (\sqrt{6}+2)^2-(\sqrt{6}-2)^2 = (6+4\sqrt{6}+4)-(6-4\sqrt{6}+4) = 8\sqrt{6}, $$
$$ (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=6-4=2. $$

Следовательно,

$$ \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}-\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}. $$

Число $$4\sqrt{6}$$ иррациональное, так как $$\sqrt{6}$$ — иррациональное число.

Ответ

$$4\sqrt{6}$$, иррациональное число.