Упр.798 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: $$\frac{9a^2-4}{2a^2-5a+2}\cdot\frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}$$.
2. Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $$\left(a-1\right)^2\left(\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-2a+1}\right)+\frac{2}{a+1}$$ является положительным?

1) Упростим выражение:

$$\frac{9a^2-4}{2a^2-5a+2}\cdot \frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}$$

Разложим на множители:

$$9a^2-4=(3a-2)(3a+2), \qquad 2a^2-5a+2=(2a-1)(a-2).$$

Тогда

$$\frac{(3a-2)(3a+2)}{(2a-1)(a-2)}\cdot \frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a} = \frac{3a-2}{2a-1}+\frac{a-1}{1-2a}.$$

Так как $$1-2a=-(2a-1),$$ то

$$\frac{3a-2}{2a-1}-\frac{a-1}{2a-1} = \frac{3a-2-a+1}{2a-1} = \frac{2a-1}{2a-1} = 1.$$

ОДЗ: $$2a^2-5a+2\ne 0,\; 3a+2\ne 0,\; 1-2a\ne 0,$$ то есть $$a\ne 2,\; a\ne \frac12,\; a\ne -\frac23.$$

2) Проверим, положительно ли выражение при всех допустимых значениях:

$$(a-1)^2\left(\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-2a+1}\right)+\frac{2}{a+1}.$$

Разложим знаменатели:

$$a^2-1=(a-1)(a+1), \qquad a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

Тогда

$$(a-1)^2\left(\frac{1}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{(a-1)^2}\right)+\frac{2}{a+1}$$
$$= (a-1)^2\cdot \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1} = \frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1} = \frac{2(a+1)}{a+1} = 2.$$

При всех допустимых значениях переменной выражение равно $$2$$, значит оно положительно.

Ответ

1) $$1$$; 2) да, верно, значение выражения равно $$2$$.