Упр.794 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь:
   
   1) $$\frac{4a^2-9}{2a^2-9a-18}$$;
   
   2) $$\frac{2b^2-7b+3}{4b^2-4b+1}$$.
2. Решите уравнение методом замены переменной:
   
   1) $$\left(\frac{2x-1}{x}\right)^2-6\frac{2x-1}{x}+5=0$$;
   
   2) $$\frac{3x-1}{x+1}+\frac{x+1}{3x-1}=3\frac{1}{3}$$.

1. Пусть $$t=\dfrac{2x-1}{x}$$, тогда $$x\neq 0$$ и получаем уравнение

   $$t^2-6t+5=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^2-6t+5=(t-1)(t-5)=0.$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=5$$.

   1) $$\dfrac{2x-1}{x}=1$$, $$x\neq 0$$

   $$2x-1=x,$$

   $$x=1.$$

   2) $$\dfrac{2x-1}{x}=5$$, $$x\neq 0$$

   $$2x-1=5x,$$

   $$-3x=1,$$

   $$x=-\dfrac13.$$

2. Пусть $$t=\dfrac{3x-1}{x+1}$$, тогда $$x\neq -1$$ и

   $$t+\dfrac1t=3\dfrac13=\dfrac{10}{3}.$$

   Умножим на $$3t$$:

   $$3t^2-10t+3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=100-36=64,$$

   $$t_{1,2}=\dfrac{10\pm 8}{6}.$$

   Получаем $$t_1=3$$, $$t_2=\dfrac13$$.

   1) $$\dfrac{3x-1}{x+1}=3$$, $$x\neq -1$$

   $$3x-1=3(x+1),$$

   $$3x-1=3x+3,$$

   корней нет.

   2) $$\dfrac{3x-1}{x+1}=\dfrac13$$, $$x\neq -1$$

   $$3(3x-1)=x+1,$$

   $$9x-3=x+1,$$

   $$8x=4,$$

   $$x=\dfrac12.$$

Ответ

1) $$x=1,\; x=-\dfrac13$$;

2) $$x=\dfrac12$$.