Упр.79 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$x$$ значение выражения $$\frac{12x-25}{20x-15}+\frac{8x+10}{20x-15}$$ не зависит от значения $$x$$.
2. Упростите выражение:
   
   1) $$\frac{x^2-16x}{(x-7)^4}+\frac{2x+49}{(7-x)^4}$$;
   
   2) $$\frac{y^2+y}{(y-6)(y+2)}+\frac{y+36}{(6-y)(2+y)}$$.

1) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{12x-25}{20x-15}+\frac{8x+10}{20x-15} =\frac{12x-25+8x+10}{20x-15} =\frac{20x-15}{20x-15}=1.$$

Значение выражения не зависит от $$x$$.

2) Упростим выражение:

$$\frac{x^2-16x}{(x-7)^4}+\frac{2x+49}{(7-x)^4}.$$

Так как $$(7-x)^4=(x-7)^4,$$ то

$$\frac{x^2-16x}{(x-7)^4}+\frac{2x+49}{(x-7)^4} =\frac{x^2-16x+2x+49}{(x-7)^4} =\frac{x^2-14x+49}{(x-7)^4}.$$

$$x^2-14x+49=(x-7)^2,$$
поэтому

$$\frac{(x-7)^2}{(x-7)^4}=\frac{1}{(x-7)^2}, \qquad x\ne 7.$$

3) Упростим выражение:

$$\frac{y^2+y}{(y-6)(y+2)}+\frac{y+36}{(6-y)(2+y)}.$$

Так как $$(6-y)(2+y)=-(y-6)(y+2),$$ то

$$\frac{y^2+y}{(y-6)(y+2)}-\frac{y+36}{(y-6)(y+2)} =\frac{y^2+y-y-36}{(y-6)(y+2)} =\frac{y^2-36}{(y-6)(y+2)}.$$

$$y^2-36=(y-6)(y+6),$$
следовательно

$$\frac{(y-6)(y+6)}{(y-6)(y+2)}=\frac{y+6}{y+2}, \qquad y\ne 6,\; y\ne -2.$$

Ответ

1) $$1$$;
2) $$\frac{1}{(x-7)^2}, \quad x\ne 7$$;
3) $$\frac{y+6}{y+2}, \quad y\ne 6,\; y\ne -2$$.