Упр.781 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

При каком значении $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ равна $$9$$?
Решите уравнение:
1) $$x-3\sqrt{x}+2=0$$;
2) $$x-\sqrt{x}-12=0$$;
3) $$3x-10\sqrt{x}+3=0$$;
4) $$8\sqrt{x}+x+7=0$$;
5) $$6\sqrt{x}-27+x=0$$;
6) $$8x-10\sqrt{x}+3=0$$.

Подробный ответ

Обозначим корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-(a-1)=1-a,$$

$$x_1x_2=-2a.$$

По условию:

$$x_1^2+x_2^2=9.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(1-a)^2-2(-2a)=9$$

$$(1-a)^2+4a=9$$

$$a^2-2a+1+4a-9=0$$

$$a^2+2a-8=0$$

$$(a+4)(a-2)=0$$

Отсюда

$$a=-4 \quad \text{или} \quad a=2.$$

Проверим, при каком значении параметра уравнение имеет действительные корни.

1) При $$a=-4$$:

$$x^2-5x+8=0,$$

$$D=25-32=-7<0,$$

действительных корней нет.

2) При $$a=2$$:

$$x^2+x-4=0,$$

$$D=1+16=17>0,$$

действительные корни есть.

Значит, подходит только $$a=2$$.

$$a=2$$

$$x-3\sqrt{x}+2=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$t^2-3t+2=0$$.
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Следовательно, $$x=1$$ или $$x=4$$.
$$x-\sqrt{x}-12=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$t^2-t-12=0$$.
$$t_1=-3,\quad t_2=4.$$
Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0$$, подходит только $$t=4$$.
Тогда $$x=16$$.
$$3x-10\sqrt{x}+3=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$3t^2-10t+3=0$$.
$$D=100-36=64,$$
$$t_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad t_2=\frac{10+8}{6}=3.$$
Тогда $$x=\frac19$$ или $$x=9$$.
$$8\sqrt{x}+x+7=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$t^2+8t+7=0$$.
$$t_1=-7,\quad t_2=-1.$$
Оба значения не подходят, так как $$t=\sqrt{x}\ge 0$$.
Корней нет.
$$6\sqrt{x}-27+x=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$t^2+6t-27=0$$.
$$t_1=3,\quad t_2=-9.$$
Подходит только $$t=3$$, значит $$x=9$$.
$$8x-10\sqrt{x}+3=0$$
Пусть $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$8t^2-10t+3=0$$.
$$D=100-96=4,$$
$$t_1=\frac{10-2}{16}=\frac12,\quad t_2=\frac{10+2}{16}=\frac34.$$
Тогда $$x=\frac14$$ или $$x=\frac{9}{16}$$.