Упр.775 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Корни $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения $$x^2-ax+8=0$$ удовлетворяют условию $$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{5}{2}$$. Найдите значение $$a$$.
- Решите уравнение:
- $$x^4-5x^2+4=0$$;
- $$x^4-5x^2+6=0$$;
- $$x^4-8x^2-9=0$$;
- $$x^4+14x^2-32=0$$;
- $$4x^4-9x^2+2=0$$;
- $$3x^4+8x^2-3=0$$.
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-ax+8=0$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=8.$$
По условию
$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac52.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac52.$$
Так как $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2,$$ получаем
$$\frac{a^2-2\cdot 8}{8}=\frac52.$$
$$\frac{a^2-16}{8}=\frac52.$$
$$a^2-16=20,$$
$$a^2=36,$$
$$a=\pm 6.$$
Ответ
$$a=\pm 6.$$
$$x^4-5x^2+4=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-5y+4=0$$
$$(y-1)(y-4)=0$$
$$y=1 \text{ или } y=4.$$
Значит,
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
$$x^4-5x^2+6=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-5y+6=0$$
$$(y-2)(y-3)=0$$
$$y=2 \text{ или } y=3.$$
Следовательно,
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2,$$
$$x^2=3 \Rightarrow x=\pm \sqrt3.$$
$$x^4-8x^2-9=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-8y-9=0$$
$$D=64+36=100,$$
$$y=\frac{8\pm 10}{2}.$$
Получаем $$y_1=9,$$ $$y_2=-1.$$
Так как $$x^2=-1$$ не имеет действительных корней, остаётся
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$
$$x^4+14x^2-32=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2+14y-32=0$$
$$D=196+128=324,$$
$$y=\frac{-14\pm 18}{2}.$$
Получаем $$y_1=2,$$ $$y_2=-16.$$
Так как $$x^2=-16$$ не имеет действительных корней, имеем
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2.$$
$$4x^4-9x^2+2=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$4y^2-9y+2=0$$
$$D=81-32=49,$$
$$y=\frac{9\pm 7}{8}.$$
Получаем $$y_1=2,$$ $$y_2=\frac14.$$
Следовательно,
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2,$$
$$x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm \frac12.$$
$$3x^4+8x^2-3=0$$
Пусть $$x^2=y$$. Тогда
$$3y^2+8y-3=0$$
$$D=64+36=100,$$
$$y=\frac{-8\pm 10}{6}.$$
Получаем $$y_1=\frac13,$$ $$y_2=-3.$$
Так как $$x^2=-3$$ не имеет действительных корней, остаётся
$$x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$
Ответ
1) $$x=\pm 1,\ \pm 2$$; 2) $$x=\pm \sqrt2,\ \pm \sqrt3$$; 3) $$x=\pm 3$$; 4) $$x=\pm \sqrt2$$; 5) $$x=\pm \sqrt2,\ \pm \frac12$$; 6) $$x=\pm \frac{1}{\sqrt3}$$.
